11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Projeção de vetores


A projeção de vetores é um tópico da matemática que envolve a projeção de um vetor em outro. Em termos simples, ajuda-nos a determinar quanto de um vetor está na direção de outro vetor. Este conceito é particularmente útil em física e engenharia, especialmente em contextos que envolvem força, momento e determinação dos componentes de um vetor.

Entendendo vetores

Um vetor é uma quantidade que possui magnitude e direção. Os vetores são geralmente representados como setas no espaço, onde o comprimento da seta representa a magnitude e a direção representa a direção do vetor.

Em termos algébricos, o vetor v pode ser representado como:

v = [v1, v2, ..., vn]

Esta é uma notação simples para um vetor em espaço n-dimensional. Para simplificar, muitas vezes trabalhamos com espaço bidimensional ou tridimensional.

O que é projeção?

A projeção de um vetor u em outro vetor v é uma maneira de descrever o efeito de um vetor v em um vetor u. Em essência, é a sombra ou imagem do vetor u sobre o vetor v.

Exemplo visual

Abaixo está um exemplo visual de projeção de vetor, onde o vetor u está sendo projetado em v:

You V projVYou

Nesta imagem, a projeção do vetor u sobre o vetor v é mostrada como uma linha verde tracejada. Ela mostra quanto do vetor u está na direção do vetor v.

A matemática por trás da projeção

A fórmula matemática para a projeção de um vetor u em um vetor v é dada por:

projv(u) = (u · v / v · v) v

Aqui, o ponto (·) representa o produto escalar de dois vetores. O produto escalar de dois vetores a e b é calculado da seguinte forma:

a · b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn

O resultado da projeção é um múltiplo escalar do vetor v.

Exemplo passo a passo

Vamos considerar um exemplo muito simples para entender melhor este conceito. Considere os vetores u = [4, 3] e v = [2, 1].

  1. Calcule o produto escalar u · v:
    2. u · v = 4 * 2 + 3 * 1 = 8 + 3 = 11
  2. Calcule o produto escalar v · v:
    3. v · v = 2 * 2 + 1 * 1 = 4 + 1 = 5
  3. Substitua esses valores na fórmula da projeção:
    4. projv(u) = (11 / 5) * [2, 1]
  4. Realize a multiplicação escalar:
    5. projv(u) = [22/5, 11/5] que é aproximadamente igual a [4.4, 2.2]

O vetor [4.4, 2.2] representa a projeção de um vetor u sobre um vetor v, que mostra quanto u aponta na direção de v.

Por que a projeção de vetor é útil?

A projeção de vetor é extremamente útil em muitos campos, como física, gráficos e engenharia. Por exemplo, em física, é usada para decompor forças em componentes paralelos e perpendiculares a superfícies. Isso pode ser importante ao analisar objetos localizados em uma inclinação ou em qualquer situação envolvendo gravidade.

Projeção em dimensões superiores

A teoria da projeção de vetores não se limita a espaços bidimensionais ou tridimensionais. Ela pode ser estendida a espaços n-dimensionais, o que pode ser particularmente útil em campos avançados como aprendizado de máquina e ciência de dados, onde espaços de alta dimensão são comuns.

Mais exemplos visuais

Considere outro exemplo com diferentes vetores a e b:

A B projBA

Neste exemplo, a linha laranja representa o vetor b, a linha roxa representa o vetor a, e a linha azul tracejada indica a projeção de a sobre b.

Aplicação

Há muitas aplicações da projeção de vetores. Aqui estão alguns exemplos:

  • Física: Calculando os componentes de velocidade, força ou aceleração em uma direção específica.
  • Gráficos: Ajustando a visualização em gráficos 3D para simular corretamente a perspectiva.
  • Engenharia: Analisando tensão e deformação estrutural ao longo de linhas especiais na construção.
  • Inteligência artificial: Usando projeções de alta dimensão para reduzir dimensões para reconhecimento de padrões.

Conclusão

Compreender a projeção de vetores ajuda em uma variedade de aplicações matemáticas e do mundo real. Ao dividir um vetor em componentes em diferentes direções, podemos analisar e resolver problemas complexos de uma maneira mais gerenciável. Este conceito fornece informações valiosas sobre a natureza dos vetores e como eles interagem entre si em diferentes espaços. Seja resolvendo um problema em física ou calculando dimensões em gráficos, a projeção de vetores é uma ferramenta fundamental que torna essas tarefas possíveis.


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