11年生
  1. 代数  1.1. 代数における数列と級数の理解  1.1.1. 等差数列の理解  1.1.2. 等差数列  1.1.3. 幾何数列の理解  1.1.4. 等比数列を理解する  1.1.5. 収束と発散  1.1.6. 代数学における「無限への和」を理解する  1.1.7. シグマ記法  1.2. 複素数  1.2.1. 虚数と複素数の理解  1.2.2. 複素数の演算  1.2.3. 複素数の極形式とデカルト形式  1.2.4. 複素数の共役  1.2.5. 絶対値と偏角  1.2.6. ド・モアブルの定理  1.2.7. 複素数の冪乗と根  1.3. 二項定理  1.3.1. 二項式の展開  1.3.2. 二項定理の一般的な用語  1.3.3. 二項係数  1.3.4. 二項定理の応用  1.3.5. パスカルの三角形
  2. 関数とグラフ  2.1. タスクのタイプ  2.1.1. 多項式関数  2.1.2. 有理関数  2.1.3. 指数関数  2.1.4. 対数関数  2.1.5. 三角関数  2.1.6. 断片的な作業  2.2. 関数の変換  2.2.1. 変換  2.2.2. 関数の変換における反射の理解  2.2.3. ストレッチとストレッチ  2.2.4. 関数とグラフにおける回転の理解  2.3. 逆関数  2.3.1. 逆を見つける  2.3.2. 逆関数のグラフ  2.3.3. 逆関数の性質  2.3.4. 逆関数の制限
  3. 三角法  3.1. 三角比と恒等式  3.1.1. 基本的な三角比  3.1.2. 三角法におけるピタゴラスの恒等式の理解  3.1.3. 和差公式  3.1.4. 二倍角の公式  3.1.5. 三角法における半角公式の理解  3.1.6. 積和公式と和積公式  3.2. 三角方程式  3.2.1. 三角方程を解く  3.2.2. 三角方程式における一般解  3.3. 三角関数のグラフ  3.3.1. 正弦グラフ  3.3.2. コサイングラフの理解  3.3.3. 正接グラフ  3.3.4. 振幅と期間の調整  3.3.5. 三角関数のグラフにおける位相変化  3.4. 三角法の応用  3.4.1. 正弦定理と余弦定理  3.4.2. 三角形の面積  3.4.3. 三角形の解法  3.4.4. ベアリングとナビゲーション
  4. 微分積分学入門  4.1. 微積分における限界と連続体の理解  4.1.1. 極限の概念  4.1.2. 一方の極限  4.1.3. 無限の極限を理解する  4.1.4. 関数の連続性  4.1.5. 不連続性の種類  4.2. 差別化  4.2.1. 導関数の定義  4.2.2. 微分の規則  4.2.3. 高次導関数  4.2.4. 連鎖律  4.2.5. 積の法則  4.2.6. 微分法における商の法則の理解  4.3. 微分の応用  4.3.1. 変化率  4.3.2. 接線と法線  4.3.3. 最大値と最小値  4.3.4. 増加関数と減少関数の理解  4.3.5. 最適化問題  4.3.6. 曲線をグラフ化する  4.3.7. 微分の応用における関連レート  4.4. 積分とは何ですか？  4.4.1. 不定積分  4.4.2. 不定積分  4.4.3. 定積分  4.4.4. 微分積分学の基本定理  4.4.5. 積分の技法  4.4.6. 積分における曲線の下の面積の理解  4.5. 積分の応用  4.5.1. 曲線間の面積  4.5.2. 回転体の体積  4.5.3. 微積分での関数の平均値を理解する
  5. ベクトルと行列  5.1. ベクトル  5.1.1. 紹介  5.1.2. ベクトルの演算  5.1.3. 内積の理解  5.1.4. クロス積  5.1.5. 幾何学における応用  5.1.6. ベクトルの射影  5.2. 行列  5.2.1. 行列の種類  5.2.2. 行列演算の理解  5.2.3. 行列式  5.2.4. 行列の逆行列  5.2.5. 線形方程式系の解法  5.2.6. クラメルの定理
  6. 確率と統計  6.1. 数学における確率の理解  6.1.1. 基本的な確率の概念  6.1.2. 条件付き確率  6.1.3. 確率における独立事象と従属事象の紹介  6.1.4. ベイズの定理  6.1.5. 組合せ確率  6.2. 確率変数  6.2.1. 離散確率変数  6.2.2. 連続確率変数  6.2.3. 確率分布  6.3. 確率分布  6.3.1. 二項分布を理解する  6.3.2. 正規分布  6.3.3. ポアソン分布  6.3.4. 均等な分布  6.4. 図  6.4.1. 代表値の尺度  6.4.2. 散布度の測定  6.4.3. データ収集と表現  6.4.4. 相関と回帰  6.4.5. サンプリング技術
  7. 座標幾何  7.1. 座標幾何学における直線  7.1.1. 座標幾何学における傾きと切片の形式  7.1.2. 直線の距離公式  7.1.3. 座標幾何における中点公式の理解  7.1.4. 線間の角度  7.1.5. 直線の方程式  7.2. 円錐曲線  7.2.1. 円  7.2.2. 放物線の紹介  7.2.3. 円錐曲線における楕円  7.2.4. 円錐曲線における双曲線の理解  7.2.5. 円錐の特性  7.2.6. 円錐曲線のパラメトリック方程式  7.2.7. 円錐曲線の極座標
  8. 算術論理  8.1. 数学的論理における論理の紹介  8.1.1. 文と論理結合子  8.1.2. 真理値表  8.1.3. 論理的同値  8.1.4. 数学論理における論理の量化子  8.1.5. 証明技法  8.2. 数学的論理における証明の理解  8.2.1. 直接証拠  8.2.2. 間接的証明  8.2.3. 背理法の理解  8.2.4. 数学的帰納法による証明

11年生 → ベクトルと行列 → ベクトル ↓


ベクトルの射影


ベクトル射影は、あるベクトルを別のベクトルに射影することを扱う数学のトピックです。簡単に言えば、あるベクトルが別のベクトルの方向にどれだけ沿っているかを判断するのに役立ちます。この概念は、力、モーメント、およびベクトルの成分を見つけることを含む物理学や工学の文脈で特に有用です。

ベクトルを理解する

ベクトルとは、大きさと方向の両方を持つ量です。ベクトルは通常、空間内の矢印として表され、矢印の長さは大きさを表し、方向はベクトルの方向を示します。

代数的には、ベクトルvは次のように表現できます:

v = [v1, v2, ..., vn]

これはn次元空間のベクトルの簡単な表記です。簡単のために、2次元または3次元空間で作業することがよくあります。

射影とは何か？

ベクトルuを別のベクトルvに射影することは、ベクトルvがベクトルuに与える影響を説明する方法です。要するに、ベクトルuをベクトルvに映した影または画像です。

視覚的な例

以下は、ベクトルuがvに投影されているビジュアル例です:

You V ProseVYou

この画像では、ベクトルuがベクトルv上に投影されている様子が、破線の緑の線で示されています。ベクトルuのどれだけがベクトルvの方向に向いているかが示されています。

射影の背後にある数学

ベクトルuをベクトルvに射影するための数学的な公式は次の通りです:

projv(u) = (u · v / v · v) v

ここで、点（·）は2つのベクトルの内積を表します。2つのベクトルaとbの内積は次のように計算されます:

a · b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn

射影の結果は、ベクトルvのスカラー倍になります。

段階的な例

この概念をよりよく理解するために、非常に簡単な例を考えてみましょう。ベクトルu = [4, 3]とv = [2, 1]を考えます。

  1. 内積u · vを計算します:
    2. u · v = 4 * 2 + 3 * 1 = 8 + 3 = 11
  2. 内積v · vを計算します:
    3. v · v = 2 * 2 + 1 * 1 = 4 + 1 = 5
  3. これらの値を射影の公式に代入します:
    4. projv(u) = (11 / 5) * [2, 1]
  4. スカラー乗算を実行します:
    5. projv(u) = [22/5, 11/5] which is approximately equal to [4.4, 2.2]

ベクトル[4.4, 2.2]はベクトルuをベクトルvに射影したもので、uがvの方向にどれだけ向いているかを示しています。

ベクトル射影はなぜ役立つのか？

ベクトル射影は、物理学、グラフィックス、工学などの多くの分野で非常に有用です。例えば、物理学では、力を平行成分と垂直成分に分解する際に使用されます。これは、傾斜地にある物体や重力を含む状況の解析に重要です。

高次元における射影

ベクトル射影の理論は、2次元や3次元空間に限定されていません。それは、機械学習やデータサイエンスのような高度な分野で非常に高次元の空間が一般的である場合に特に有用です。

さらに多くの視覚的な例

異なるベクトルaとbを用いた別の例を考えてみましょう:

A B ProseBA

この例では、オレンジの線はベクトルbを表し、紫の線はベクトルaを表し、破線の青い線はaをbに投影したものを示しています。

応用

ベクトル射影には多くの応用があります。以下はその例です:

  • 物理学:特定の方向における速度、力、または加速度の成分を計算する。
  • グラフィックス:3Dグラフィックスでの視点を正しくシミュレートするためにビューを調整する。
  • 工学:建設における構造的ストレスとひずみを特別な線に沿って解析する。
  • 人工知能:パターン認識のために次元を削減する高次元射影を使用する。

結論

ベクトル射影を理解することは、多くの数学的および現実世界の応用に役立ちます。異なる方向にベクトルを成分に分解することにより、複雑な問題をより管理しやすい方法で分析して解決できます。この概念は、ベクトルの性質と、異なる空間での相互作用について貴重な情報を提供します。物理の問題を解決する場合や、グラフィックスの寸法を計算する場合、ベクトル射影はこれらのタスクを可能にする基本的なツールです。


11年生 → 5.1.6


U
username
0%
完了までの時間 11年生

← 前 (5.1.5)
幾何学における応用
次へ (5.2) →
行列

コメント 



ベクトルの射影

https://www.buddymath.com/g11/5.1.6?bmal=ja