Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 ↓


Introducción al cálculo


El cálculo es una rama de las matemáticas que nos ayuda a entender los cambios. Es una herramienta que nos permite investigar cómo cambian las cosas y cómo esos cambios afectan a otras cosas. El cálculo se utiliza en una amplia variedad de disciplinas, incluyendo la física, la ingeniería, la economía, la estadística e incluso en la comprensión del espacio y el tiempo.

Comprensión de las tareas

Antes de sumergirse en el cálculo, es importante entender el concepto de función. Una función es una relación entre un conjunto de entradas y un conjunto de posibles salidas donde cada entrada se relaciona con exactamente una salida. Una función se expresa a menudo como f(x) donde x es la variable de entrada.

Por ejemplo, considere la función f(x) = 2x + 3. Esta función nos dice que para cualquier valor de entrada x, el valor de salida será el doble del valor de entrada más tres.

Limitaciones

Los límites nos ayudan a entender el comportamiento de una función en puntos específicos. El límite de una función describe el valor al que se aproxima el resultado de la función a medida que la entrada se acerca a un cierto punto. Los límites son fundamentales en el cálculo.

Por ejemplo, vamos a encontrar el límite de la función f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) a medida que x se aproxima a 1.

    Sea f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1). Simplifique x^2 - 1 a (x - 1)(x + 1). Entonces, f(x) = ((x - 1)(x + 1))/(x - 1). Esto simplifica a f(x) = x + 1 cuando x ≠ 1. Mientras x se aproxima a 1, f(x) se aproxima a 2. Por lo tanto, el límite de f(x) mientras x -> 1 es 2.

Derivadas

La derivada es una herramienta fundamental en el cálculo que nos ayuda a entender cómo cambia una función en cualquier momento dado. La derivada de una función en un punto mide su tasa de cambio o la pendiente de la línea tangente en ese punto.

Considere la función f(x) = x^2. Para encontrar la derivada, observamos el cambio en f(x) a medida que x cambia por una pequeña cantidad, ∆x.

Matemáticamente, la derivada de f en x es el límite:

    f'(x) = lim (∆x -> 0) [f(x + ∆x) - f(x)] / ∆x

Para f(x) = x^2, la derivada es:

    f'(x) = lim (∆x -> 0) [(x + ∆x)^2 - x^2] / ∆x = lim (∆x -> 0) [x^2 + 2x∆x + (∆x)^2 - x^2] / ∆x = lim (∆x -> 0) [2x∆x + (∆x)^2] / ∆x = lim (∆x -> 0) [2x + ∆x] = 2x

Aplicación de las derivadas

Las derivadas tienen muchas aplicaciones en la vida real. Se utilizan para encontrar los valores máximos y mínimos de una función, optimizar ciertas funciones y determinar la concavidad y los puntos de inflexión de un gráfico.

Si queremos encontrar el área máxima de un rectángulo con un perímetro de 20 unidades, entonces se pueden utilizar las derivadas.

    Sea la longitud x y el ancho y. Dado el perímetro 2x + 2y = 20, resolvamos para y: y = 10 - x. El área A = xy = x(10 - x) = 10x - x^2. Para maximizar el área, encontramos la derivada A'(x) = 10 - 2x. Al establecer A'(x) = 0, 10 - 2x = 0, obtenemos x = 5. Por lo tanto, el ancho y = 10 - 5 = 5. El área máxima es 25 unidades cuadradas.

Integrales

Las integrales son otro concepto esencial en el cálculo. Son el proceso opuesto de las derivadas y se utilizan para encontrar áreas bajo curvas, entre otras cosas. Si las derivadas miden la tasa de cambio, las integrales nos permiten sumar pequeños cambios para determinar la acumulación total.

La integral de una función f(x) se representa como:

    ∫ f(x) dx

Para la función f(x) = x^2, la integral se calcula como:

    ∫ x^2 dx = (1/3)x^3 + C

Aquí, C es la constante de integración porque la derivada de una constante es cero, y puede ser cualquier número.

Integral definida

Las integrales definidas se utilizan para calcular un número, mientras que las integrales indefinidas dan una familia de funciones. Una integral definida calcula una cantidad sobre un intervalo específico. La notación para una integral definida de f(x) de a a b es:

    ∫ a b f(x) dx

Por ejemplo, para encontrar el área bajo la curva f(x) = x^2 de x = 1 a x = 3, calcularías:

    ∫ 1 3 x^2 dx = [(1/3)x^3] de 1 a 3 = (1/3)[3^3 - 1^3] = (1/3)[27 - 1] = (1/3)[26] = 26/3

Aplicaciones del cálculo en el mundo real

El cálculo se utiliza en muchas situaciones del mundo real. Lo utilizan los ingenieros para determinar el diseño y funcionamiento más eficientes de la maquinaria. Los economistas lo emplean para encontrar el máximo beneficio bajo ciertas restricciones. Los biólogos lo utilizan para modelar dinámicas poblacionales.

Ahora, consideremos un ejemplo donde se utiliza el cálculo en un problema físico simple:

Supongamos que una pelota se lanza directamente hacia arriba en el aire. Su posición después de t segundos se da mediante la función s(t) = 60t - 5t^2. La velocidad de la pelota es la derivada de su posición.

    v(t) = s'(t) = d(60t - 5t^2)/dt = 60 - 10t

Cuando t = 2 seg la velocidad será:

    v(2) = 60 - 10(2) = 60 - 20 = 40 m/s

Conclusión

El cálculo es una herramienta increíble que realmente ha cambiado la forma en que entendemos el mundo que nos rodea. Desde sus conceptos fundamentales de límites, derivadas e integrales, el cálculo no es solo una materia, sino una puerta de entrada para resolver problemas del mundo real. Nos permite modelar, predecir y entender fenómenos en una variedad de disciplinas. A través de la práctica y la aplicación, el cálculo se convierte no solo en una rama de las matemáticas, sino en un lente a través del cual podemos ver la naturaleza dinámica de nuestro entorno.


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