Volumes de sólidos de revolução

Em cálculo, usar a integração para encontrar o volume de sólidos de revolução é uma aplicação fascinante. Este processo nos permite determinar o volume de um objeto tridimensional ao girar uma esfera bidimensional em torno de um eixo. Esta técnica envolve o uso de integrais definidas e tem muitas aplicações em engenharia, física e até mesmo em cenários do cotidiano. Nesta explicação, aprenderemos como calcular esses volumes usando linguagem simples e exemplos suportados visualmente.

O que é um sólido de revolução?

Um sólido de revolução é um objeto tridimensional formado quando uma figura bidimensional é girada em torno de uma linha reta conhecida como eixo de revolução. O exemplo mais simples disso é formar um cilindro girando um retângulo em torno de uma de suas bordas.

  Considere um retângulo com um lado no eixo x:
  ,
 ,
 ,
 ,

  Girar este retângulo em torno do eixo x formará um cilindro.

Método dos discos

O método dos discos é usado para encontrar o volume de sólidos de revolução. Aplica-se quando o sólido é girado em torno do eixo x. A ideia é "cortar" o sólido em pedaços finos em forma de disco e depois somar seus volumes usando integração.

A fórmula para o método dos discos é a seguinte:

V = π ∫[a, b] [r(x)]² dx

Onde:

• V é o volume do sólido.
• R(x) é o raio do disco na posição x.
• [a, b] são os limites da integração.

Exemplo: Encontrando volume usando o método dos discos

Suponha que queremos encontrar o volume do sólido formado por girar a região sob a curva y = sqrt(x) em torno do eixo x de x = 0 a x = 4.

A função a ser integrada é:
V = π ∫[0, 4] (sqrt(x))² dx
  ∫[0, 4] x dx = π ∫ [0, 4] x dx
  = π [1/2 * x²] de 0 a 4
  = π (1/2 * 4² - 1/2 * 0²)
  = π (8)
  = 8π

O volume do sólido é de 8π unidades cúbicas.

Método das anéis

Às vezes, os sólidos têm um furo no meio. Para esses casos, usamos o método das anéis. Recebe este nome porque cada pedaço se parece com um anel – um disco com um furo no meio.

A fórmula para o método das anéis é:
V = π ∫[a, b] ([r(x)]² - [r(x)]²) dx

Onde:

• R(x) é o raio externo.
• r(x) é o raio interno.
• [a, b] são os limites da integração.

Exemplo: Volume de um sólido em forma de anel

Vamos encontrar o volume do sólido obtido girando a região entre y = sqrt(x) e y = 1 em torno do eixo x de x = 1 a x = 4.

V = π ∫[1, 4] ([sqrt(x)]² - 1²) dx
  ∫[1, 4] (x - 1) dx = π
  = π [1/2 * x² - x] de 1 a 4
  = π (1/2 * 4² - 4 - (1/2 * 1² - 1))
  = π(8 – 4 – (0.5 – 1))
  = π(4 + 0.5)
  = 4.5π

O volume é de 4.5π unidades cúbicas.

Método das cascas

Quando o sólido é girado em torno do eixo y, o método das cascas é muitas vezes mais apropriado. Este método considera uma casca cilíndrica em vez de um disco ou anel.

A fórmula para o método das cascas é:

V = 2π ∫[a, b] (x * [f(x)]) dx

Onde:

• [f(x)] é a altura da casca cilíndrica na posição x.
• [a, b] são os limites da região.

Exemplo: Encontrando volume usando o método das cascas

Suponha que giramos a região sob y = x² em torno do eixo y de x = 0 a x = 1.

V = 2π ∫[0, 1] (x * x²) dx
  = 2π ∫[0, 1] x³ dx
  = 2π [1/4 * x⁴] de 0 a 1
  = 2π (1/4 * 1 - 1/4 * 0)
  = 2π (1/4)
  = π/2

O volume é de π/2 unidades cúbicas.

Aplicações na vida real

Compreender o volume de sólidos de revolução não é apenas para resolver problemas acadêmicos; tem muitas aplicações na vida real. Engenheiros e arquitetos usam esses métodos para calcular o volume de materiais, como descobrir quanto material é necessário para fabricar peças de máquinas ou construir estruturas como túneis.

No campo industrial, pode-se usar essas técnicas para determinar a capacidade e as dimensões de tanques e canos. Por exemplo, usando o método das cascas, pode-se calcular quanto tinta é necessária para revestir o interior de um tanque cilíndrico.

Resumo e conclusão

O cálculo nos proporciona ferramentas poderosas para compreender e calcular o volume de sólidos de revolução. A escolha do método - seja ele o método dos discos, anéis ou cascas - depende da natureza do problema e do eixo em torno do qual a figura gira. Ao integrar a área sob uma curva e em torno de um eixo, podemos determinar de forma rápida e precisa o volume de objetos tridimensionais complexos.

De cilindros simples a formas mais complexas, esses métodos simplificam os cálculos e fornecem respostas definitivas para geometrias que seriam complexas de outra forma. Seja lidando com problemas do dia a dia ou tarefas de engenharia especializadas, entender como calcular esses volumes é uma habilidade importante.

Através desta explicação, os passos e métodos para calcular o volume de sólidos de revolução são abordados com exemplos ilustrativos e auxiliares visuais. Ao praticar mais exemplos, você ganhará a confiança e as habilidades para lidar com problemas cada vez mais complexos em cálculo.

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