Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Volúmenes de sólidos de revolución


En cálculo, usar la integración para encontrar el volumen de sólidos de revolución es una aplicación fascinante. Este proceso nos permite determinar el volumen de un objeto tridimensional al rotar una esfera bidimensional alrededor de un eje. Esta técnica implica el uso de integrales definidas y tiene muchas aplicaciones en ingeniería, física e incluso en escenarios de la vida cotidiana. En esta explicación, aprenderemos cómo calcular estos volúmenes usando un lenguaje simple y ejemplos visuales.

¿Qué es un sólido de revolución?

Un sólido de revolución es un objeto tridimensional formado cuando una figura bidimensional se rota alrededor de una línea recta conocida como el eje de revolución. El ejemplo más simple de esto es formar un cilindro al rotar un rectángulo alrededor de uno de sus bordes.

  Considera un rectángulo con un lado en el eje x:
  ,
 ,
 ,
 ,

  Rotar este rectángulo alrededor del eje x formará un cilindro.

Método del disco

El método del disco se utiliza para encontrar el volumen de sólidos de revolución. Se aplica cuando el sólido se rota alrededor del eje x. La idea es "cortar" el sólido en piezas delgadas en forma de disco y luego sumar sus volúmenes usando integración.

La fórmula para el método del disco es la siguiente:

V = π ∫[a, b] [r(x)]² dx

Dónde:

  • V es el volumen del sólido.
  • R(x) es el radio del disco en la posición x.
  • [a, b] son los límites de integración.

Ejemplo: Encontrar el volumen usando el método del disco

Supongamos que queremos encontrar el volumen del sólido formado al rotar la región bajo la curva y = sqrt(x) sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 4.

La función a integrar es:
V = π ∫[0, 4] (sqrt(x))² dx
  ∫[0, 4] x dx = π ∫ [0, 4] x dx
  = π [1/2 * x²] from 0 to 4
  = π (1/2 * 4² - 1/2 * 0²)
  = π (8)
  = 8π

El volumen del sólido es 8π unidades cúbicas.

y = sqrt(x)

Método del anillo

A veces los sólidos tienen un agujero en el medio. Para estos utilizamos el método del anillo. Se llama así porque cada pieza se parece a un anillo: un disco con un agujero en el medio.

La fórmula para el método del anillo es:
V = π ∫[a, b] ([R(x)]² - [r(x)]²) dx

Dónde:

  • R(x) es el radio exterior.
  • r(x) es el radio interior.
  • [a, b] son los límites de integración.

Ejemplo: Volumen de un sólido en forma de anillo

Vamos a encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región entre y = sqrt(x) y y = 1 sobre el eje x desde x = 1 hasta x = 4.

V = π ∫[1, 4] ([sqrt(x)]² - 1²) dx
  ∫[1, 4] (x - 1) dx = π
  = π [1/2 * x² - x] from 1 to 4
  = π (1/2 * 4² - 4 - (1/2 * 1² - 1))
  = π(8 – 4 – (0.5 – 1))
  = π(4 + 0.5)
  = 4.5π

El volumen es 4.5π unidades cúbicas.

y = 1

Método de la cáscara

Cuando el sólido se rota alrededor del eje y, el método de la cáscara suele ser más apropiado. Este método considera una cáscara cilíndrica en lugar de un disco o anillo.

La fórmula para el método de la cáscara es:

v = 2π ∫[a, b] (x * [f(x)]) dx

Dónde:

  • [f(x)] es la altura de la cáscara cilíndrica en la posición x.
  • [a, b] son las fronteras de la región.

Ejemplo: Encontrar el volumen usando el método de la cáscara

Supongamos que rotamos la región bajo y = x² sobre el eje y desde x = 0 hasta x = 1.

V = 2π ∫[0, 1] (x * x²) dx
  = 2π ∫[0, 1] x³ dx
  = 2π [1/4 * x⁴] from 0 to 1
  = 2π (1/4 * 1 - 1/4 * 0)
  = 2π (1/4)
  = π/2

El volumen es π/2 unidades cúbicas.

Aplicaciones en la vida real

Comprender el volumen de los sólidos de revolución no solo es para resolver problemas académicos; tiene muchas aplicaciones en la vida real. Ingenieros y arquitectos utilizan estos métodos para calcular el volumen de materiales, como determinar cuánta materia se necesita para fabricar piezas de maquinaria o construir estructuras como túneles.

En el ámbito industrial se pueden usar estas técnicas para determinar la capacidad y dimensiones de tanques y tuberías. Por ejemplo, utilizando el método de la cáscara, se puede calcular cuánta pintura se necesita para recubrir el interior de un tanque cilíndrico.

Resumen y conclusión

El cálculo nos proporciona herramientas poderosas para comprender y calcular el volumen de sólidos de revolución. La elección del método, ya sea el del disco, del anillo o de la cáscara, depende de la naturaleza del problema y del eje alrededor del cual gira la figura. Al integrar el área bajo una curva y alrededor de un eje, podemos determinar rápida y precisamente el volumen de objetos tridimensionales complejos.

Desde cilindros simples hasta formas más complejas, estos métodos simplifican los cálculos y proporcionan respuestas definitivas para geometrías de otro modo complejas. Ya sea tratando problemas de la vida cotidiana o tareas especializadas de ingeniería, comprender cómo calcular estos volúmenes es una habilidad importante.

A través de esta explicación, los pasos y métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución están cubiertos con ejemplos ilustrativos y ayudas visuales. Al practicar más ejemplos, ganarás la confianza y las habilidades para manejar problemas cada vez más complejos en cálculo.


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