曲線間の面積
微積分では、一般的に積分を使って領域の面積を求めます。積分の興味深い応用の一つは、グラフ上の二つの曲線間の面積を求めることです。この概念は数学だけでなく、土地の面積を計算する必要がある様々な実用的な分野でも重要です。積分を使ってこれらの面積を簡単で直感的な方法で求める方法を理解しましょう。
基本を理解する
二つの曲線間の面積を求める基本的な考え方は、指定された区間で曲線間の「垂直距離」を積分することです。まず、y = f(x) と y = g(x) という二つの関数を考えましょう。ここで、f(x) は上側の曲線、g(x) は下側の曲線を区間 [a, b] で表します。
基本的な公式
x = a から x = b までの二つの曲線間の面積を求める公式は次の通りです:
A = ∫ a b (f(x) - g(x)) dx
ここで、(f(x) - g(x)) は各 x における曲線上の点との距離を提供し、その点での面積の「スライス」を提供します。この式を a から b まで積分することで、これらのスライスすべてを合計して全体の面積を求めることができます。
簡単な例を通して理解する
簡単な例でこれを理解してみましょう。例えば、x = 0 から x = 1 までの y = x^2 と y = x + 2 の間の面積を求めたいとします。
ここで:
f(x) = x + 2（上側の曲線）g(x) = x^2（下側の曲線）
まず、指定された区間でこれらの関数のグラフがどのように相互作用するかを確認します:
次に、積分プロセスを使って面積を求めます:
A = ∫ 0 1 ((x + 2) - x^2) dx
= ∫ 0 1 (x + 2 - x^2) dx
各項を個別に積分します:
= [ (1/2) * x^2 + 2x - (1/3) * x^3 ] 0 1
= [(1/2) * (1)^2 + 2(1) - (1/3) * (1)^3 ] - [(1/2) * (0)^2 + 2(0) - (1/3) * (0)^3 ]
= [1/2 + 2 - 1/3 ] - [ 0 + 0 - 0 ]
= 2 + 1/2 - 1/3
= (6/3) + (3/6) - (2/6)
= 7/6
したがって、x = 0 から x = 1 までの y = x + 2 と y = x^2 の曲線間の面積は 7/6 平方単位です。
より複雑な状況
時々、区間内で曲線が交差する場合があります。そのような場合、上側と下側の曲線が役割を交換するため、役割が交代する各区間のために個別の積分を設定する必要があります。
例: 曲線の切り替え
区間内で曲線が役割を交代する例を見てみましょう。関数 y = x^3 と y = x を区間 [-1, 2] 上で考えます。
まず、方程式を互いに等しくして x を解くことで曲線の交点を見つけます:
x^3 = x
x^3 - x = 0
x(x^2 - 1) = 0
x(x - 1)(x + 1) = 0
これらの曲線は x = -1、x = 0、x = 1 で交差します。
これで、区間 [-1, 2] を交点に基づいて三つの部分に分けます:
x = -1からx = 0まで、上側の曲線はy = xです。x = 0からx = 1まで、上側の曲線はy = x^3です。x = 1からx = 2まで、上側の曲線はy = xに戻ります。
各部分の積分を設定します:
A = ∫ -1 0 (x - x^3) dx + ∫ 0 1 (x^3 - x) dx + ∫ 1 2 (x - x^3) dx
各積分を個別に計算します:
= [ (1/2)x^2 - (1/4)x^4 ] -1 0 + [ (1/4)x^4 - (1/2)x^2 ] 0 1 + [ (1/2)x^2 - (1/4)x^4 ] 1 2
これを簡略化します:
= (0 - [1/2 - 1/4(-1)^4 ]) + ([ 1/4 - 1/2(1)^2 ] - 0) + ([ (1/2)2^2 - (1/4)2^4 ] - [ (1/2)1^2 - (1/4)1^4 ])
= (-1/2 + 1/4) + (0 – 1/4) + ((2 – 4) – (1/2 – 1/4))
= -1/4 - 1/4 + 1 - 2 + 1/4
= -1/2 + 1/4 - 2 + 1/4
= -2
ここで、負の結果は曲線の交代のために異なる方向で面積が計算されたことを示しています。必要に応じて計算での負の面積を避けるためのアプローチを調整し、複雑な状況で絶対値を考慮します。
要約
積分によって曲線間の面積を見つける概念は、微積分において貴重な技術です。二つの関数の差の積分を区間にわたって計算することで、彼らが囲む領域の面積を正確に求めることができます。主な手順は次のとおりです:
- 与えられた曲線と面積を求める必要がある区間を特定します。
- 指定された区間内でどちらの曲線が上側の曲線で、どちらが下側の曲線かを判断します。
- 必要に応じて、役割が変わる部分での交点を見つけます。
- 各領域の積分を設定し、統合された値を計算します。
- 各積分から計算された面積を追加して、曲線間の総面積を求めます。
様々な例を通じてこれらのステップを練習することで、積分を使って曲線間の面積を求める方法をしっかりと理解することができます。これは数学的計算だけでなく、物理学、工学、経済学などの実用分野においても強力なツールです。
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