Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Técnicas de integración


La integración es un concepto fundamental en el cálculo, con muchas aplicaciones que abarcan diversos dominios científicos. A diferencia de la diferenciación, la integración se considera a menudo más desafiante, ya que requiere encontrar el área bajo una curva o revertir el proceso de diferenciación. Para resolver problemas de integración de manera eficiente, se han desarrollado varias técnicas de integración, que exploraremos en profundidad en este artículo.

Introducción a la integración

Antes de entrar en técnicas específicas, asegurémonos de entender qué significa la integración. La integración es el proceso inverso de la diferenciación. Mientras que la diferenciación descompone una función en su tasa de cambio, la integración suma las cantidades acumuladas de una función. La forma más simple de integración se puede ver al calcular áreas bajo curvas.

La integral se representa con el símbolo ∫, seguido de una función y la variable de integración. La integral de una función f(x) con respecto a x se representa por ∫f(x)dx.

Técnicas fundamentales de integración

1. Integración por sustitución

La integración por sustitución, también conocida como sustitución u, es una de las técnicas más comunes, especialmente útil al tratar con funciones combinadas. La idea es transformar la integral en una forma más simple, posiblemente reduciéndola a una integral estándar.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos integrar una función f(g(x))g'(x). Podemos establecer u = g(x) y luego du = g'(x)dx. La integral se convierte en ∫f(u)du.

Ejemplo: ∫2x(x² + 1)³dx Sustitución: u = x² + 1 → du = 2xdx La integral se convierte en: ∫u³du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C
f(x) = (x² + 1)³ u = x² + 1 du = 2x dx

2. Integración por partes

La integración por partes es una técnica extremadamente útil al integrar el producto de dos funciones. Este método es una consecuencia de la regla del producto para la diferenciación. La fórmula para la integración por partes es:

∫u dv = uv - ∫v du

Aquí, u y dv son partes de la integral original, por lo que du y v deben calcularse.

Ejemplo: ∫x eˣdx Elegir: u = x → du = dx dv = eˣdx → v = eˣ Aplicar integración por partes: ∫x eˣdx = x eˣ - ∫eˣ dx = x eˣ - eˣ + C = eˣ(x - 1) + C
f(x) = x in u = x dv = eˣ dx

El uso de la integración por partes a menudo implica probar diferentes elecciones de u y dv antes de encontrar una combinación que simplifique efectivamente la ecuación. Un mnemotécnico útil es "LIPET", que sugiere el orden de elecciones: logarítmica, trigonométrica inversa, polinómica, exponencial, trigonométrica.

3. Integrales trigonométricas

Las integrales trigonométricas a menudo involucran seno, coseno, tangente y sus potencias. Diferentes estrategias se aplican dependiendo de las potencias e interacciones entre funciones trigonométricas.

Consideremos las integrales relacionadas con sin m (x) y cos n (x).

Si m o n es impar, se puede guardar un seno o coseno, convirtiendo el resto usando la identidad pitagórica sin²(x) + cos²(x) = 1. Por ejemplo:

∫sin³(x)cos²(x)dx Guardar un seno: = ∫sin²(x)sin(x)cos²(x)dx Usar identidad: = ∫(1-cos²(x))sin(x)cos²(x)dx = ∫(sin(x)cos²(x) - sin(x)cos⁴(x))dx Sustitución: u = cos(x) → du = -sin(x)dx = ∫(cos²(x)(-1) - cos⁴(x)(-1))du = -∫u²du + ∫u⁴du = -(u³/3) + (u⁵/5) + C = -(cos³(x)/3) + (cos⁵(x)/5) + C

Cuando m y n son ambos pares, identidades como sin²(x) = (1-cos(2x))/2 o cos²(x) = (1+cos(2x))/2 se pueden usar para simplificar integrales.

4. Sustitución trigonométrica

La sustitución trigonométrica es especialmente útil para integrales que involucran funciones algebraicas bajo raíces cuadradas. Por ejemplo, las integrales de la forma √(a² - x²), √(a² + x²), o √(x² - a²) pueden simplificarse usando sustitución.

Considere la sustitución para √(a² - x²): Sea x = a sin(θ), entonces dx = a cos(θ) dθ y √(a² - x²) = a cos(θ).

Ejemplo: ∫√(4 - x²)dx Sustitución: x = 2sin(θ) → dx = 2cos(θ)dθ Transformar la integral: ∫√(4 - (2sin(θ))²)dx = ∫2cos²(θ)2cos(θ)dθ = 4∫cos²(θ)dθ Usar identidad de ángulo doble: cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2 = 4∫(1 + cos(2θ))/2dθ = 2∫(1 + cos(2θ))dθ = 2[θ + sin(2θ)/2] + C = 2[θ + sin(θ)cos(θ)] + C

Estas sustituciones transforman el integrando en una expresión trigonométrica, que es más fácil de integrar antes de volver a sustituir en la variable original.

5. Descomposición en fracciones parciales

La descomposición en fracciones parciales se usa al integrar funciones racionales, es decir, funciones de la forma P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son ambos polinomios.

Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), entonces la función se puede descomponer en una suma de fracciones simples, cada una de las cuales se puede integrar por separado.

Por ejemplo:

∫(4x - 3)/(x² - x - 2)dx Factorizar denominador: = ∫(4x - 3)/((x-2)(x+1))dx Descomponer en fracciones parciales: 4x - 3 = A(x+1) + B(x-2) Resolver para A y B: A(x+1) + B(x-2) = 4x - 3 A + B = 4 -A + 2B = -3 Resolver el sistema: A = 5, B = -1 Reescribir integral: = ∫(5/(x-2) - 1/(x+1))dx Resultado: = 5ln|x-2| - ln|x+1| + C

La clave de este método es expresar exitosamente el integrando como una suma de fracciones cuyos denominadores son simples, cada una de las cuales se puede integrar usando reglas básicas.

Estas son las técnicas elementales de integración utilizadas para diversas tareas. Dominarlas hace posible resolver integrales complejas aplicando el método apropiado, simplificando el proceso y asegurando resultados precisos. Con práctica, se vuelve intuitivo identificar qué técnica usar, y abordar integrales desafiantes se siente como resolver un rompecabezas.

Conclusión

Las técnicas de integración son variadas y cada una tiene su propia aplicación única. Desde la sustitución hasta las técnicas trigonométricas y de fracciones parciales, comprender y aplicar estos métodos mejora la capacidad de resolver integrales, convirtiéndolo en una parte importante de la educación en cálculo. Recuerde practicar una variedad de problemas, ya que cada integral potencialmente requiere un enfoque único o una combinación de técnicas para resolver.

No se deje intimidar por la complejidad de la integración. Con estas técnicas, incluso las integrales más complejas se vuelven fáciles de abordar. A medida que continúe aprendiendo y practicando, se encontrará más seguro y hábil al integrar una amplia variedad de funciones.


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