Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Teorema fundamental del cálculo


El cálculo es una rama de las matemáticas que nos ayuda a entender las transformaciones entre valores que están relacionados por una función. Se divide en dos ramas principales: cálculo diferencial y cálculo integral. En matemáticas de grado 11, nos enfocamos en entender los conceptos básicos de estas dos ramas, con un énfasis especial en la integración. El teorema fundamental del cálculo es una idea central que conecta estas ramas.

El teorema fundamental del cálculo es un puente entre la diferenciación y la integración, y consta de dos partes principales. Estas partes hacen posible evaluar integrales definidas y relacionarlas con antiderivadas. Este teorema nos permite entender cómo están relacionados la derivada de una función y el área bajo su gráfica.

Parte 1: La relación entre diferenciación e integración

La primera parte del teorema fundamental del cálculo establece que si tenemos una función continua f(x) en el intervalo [a, b], y si F(x) es la antiderivada de f(x) en este intervalo, entonces:

 f(b) - f(a) = ∫[a to b] f(x) dx

Este es un resultado poderoso. Nos dice que la integral de una función f(x) desde a hasta b es igual al cambio en el valor de la antiderivada desde a hasta b.

Entendamos esto con un ejemplo simple:

Sea f(x) = 3x^2. La antiderivada de f(x) puede ser F(x) = x^3, ya que la derivada de x^3 es 3x^2. Vamos a encontrar la integral definida de 1 a 2.

De acuerdo con el teorema, calculamos:

 f(2) - f(1) = (2^3) - (1^3) = 8 - 1 = 7

Así que la integral de 3x^2 desde x = 1 hasta x = 2 es 7.

Ahora, visualicemos este proceso.

0 1 2 Área = 7

Parte 2: Derivada de la integral

La segunda parte del teorema fundamental del cálculo se enfoca en la derivada de la integral. Establece que si tienes una función continua f(x) en el intervalo [a, b], y la integral de F(x) está definida por:

 F(x) = ∫[a to x] f(t) dt

Entonces, la derivada de F(x) con respecto a x es f(x). En otras palabras:

 f'(x) = f(x)

Esto significa que si acumulas el área bajo f(t) desde a hasta x, y luego tomas la derivada de esta área acumulada, obtienes de nuevo la función original f(x). Este resultado es increíblemente útil porque muestra cómo la integración y la diferenciación son operaciones inversas.

Demostremos esto con otro ejemplo:

Supongamos f(t) = cos(t). Entonces si definimos:

 F(x) = ∫[0 to x] cos(t) dt

La derivada de F(x) es:

 f'(x) = cos(x)

Así que, al integrar la función coseno desde 0 hasta x y luego diferenciarla con respecto a x volvemos a la función original.

Interpretación visual

0 X ∫[0 to x] f(t) dt

Aplicaciones y ejemplos

El teorema fundamental del cálculo tiene amplias aplicaciones en varios campos como la física, la ingeniería y la economía. Comprender este teorema es importante para resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio y acumulación.

Ejemplo 1 - Encontrar la distancia:

Si la velocidad de un coche está dada por la función v(t) = 4t, donde t es el tiempo en horas, podemos encontrar la distancia total recorrida desde el tiempo t = 2 hasta t = 5 integrando la función de velocidad:

 Distancia = ∫[2 to 5] 4t dt = [2t^2][2 to 5] = (2*(5^2)) - (2*(2^2)) = 50 - 8 = 42

Por lo tanto, el coche recorrió 42 unidades de distancia durante ese intervalo de tiempo.

Ejemplo 2 - Valor promedio de una función:

Considera una función f(x) = x^2 + 3 en el intervalo [2, 5]. Para encontrar el valor promedio de la función, utiliza la fórmula:

 Valor promedio = (1 / (b - a)) * ∫[a to b] f(x) dx = (1 / (5 - 2)) * ∫[2 to 5] (x^2 + 3) dx = (1/3) * ([x^3/3 + 3x][2 to 5]) = (1/3) * (125/3 + 15 – 8/3 – 6) = 17

Por lo tanto, el valor promedio de la función sobre el intervalo especificado es 17.

Conclusión

El teorema fundamental del cálculo abarca una conexión profunda entre dos conceptos fundamentales del cálculo: la diferenciación y la integración. Al entender este teorema, podemos ver cómo estas operaciones aparentemente diferentes se complementan entre sí, proporcionando herramientas poderosas para el análisis y la resolución de problemas. Dominar este teorema no solo mejora tus habilidades matemáticas, sino que también te prepara para temas más avanzados en matemáticas y materias relacionadas.


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