Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Введение в математический анализ → Что такое интеграция? ↓


Определенный интеграл


Добро пожаловать в исследование определенного интеграла, важного понятия в математическом анализе. Определенные интегралы используются для нахождения общей накопленной величины, такой как площадь под кривой, объем тела или другие величины, когда функции задействованы.

Понимание основ

Интегрирование - это фундаментальная концепция математического анализа, которая объединяет две разные идеи: аккумуляцию и площадь. Сначала мы сталкиваемся с дифференцированием, где мы находим скорости изменений. Интегрирование, в некотором смысле, является обратным процессом. В математическом анализе существует два основных типа интегралов:

  • Неопределенные интегралы, которые представляют собой семейства первообразных функций.
  • Определенные интегралы, которые дают число, представляющее накопленное изменение на промежутке.

Когда вы выполняете определенный интеграл, вы фактически вычисляете "общую аккумуляцию" функции на конкретном промежутке. Результат определенного интеграла - это число, а не функция.

Символ интеграла

Символ интеграла - это удлиненная S: ∫, что означает "сумма", отражая его корни в сложении и аккумуляции.

Нотация определенного интеграла

Определенный интеграл функции f(x) от a до b обозначается как:

∫ a b f(x) dx

Здесь:

  • a и b - нижний и верхний пределы интеграла, соответственно.
  • f(x) - функция, которая интегрируется.
  • dx указывает на то, что интегрирование происходит по переменной x.

Значение определенного интеграла от x = a до x = b представляет собой чистую площадь между функцией f(x) и осью x.

Геометрическая интерпретация

Геометрически определенный интеграл функции соответствует площадям под кривой функции на некотором интервале на оси x. Определенный интеграл - это чистая площадь, где площади выше оси x считаются положительными, а ниже - отрицательными.

Рассмотрим простой пример:

A B f(x)

Диаграмма выше показывает кривую непрерывной функции f(x) от a до b. Заштрихованная область представляет собой определенный интеграл от f(x) от a до b.

Вычисление определенных интегралов

Определенный интеграл вычисляется с использованием фундаментальной теоремы анализа. Эта теорема связывает дифференцирование и интегрирование, показывая, что они, по сути, являются обратными процессами.

Фундаментальная теорема анализа

Эту теорему можно сформулировать следующим образом:

Если F(x) является первообразной функции f(x) на интервале [a, b], то
∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a)

Это говорит нам о том, что мы можем найти определенный интеграл функции, если можем найти её первообразную.

Пример расчета

Давайте вычислим простой определенный интеграл: Найдите определенный интеграл функции f(x) = x^2 от x = 1 до x = 3.

Сначала найдите первообразную функции f(x) = x^2, которую мы обозначим как F(x).

Вспомните, что первообразная x^n это (1/(n+1))x^(n+1) + C.

Первообразная x^2 это:

F(x) = (1/3)x^3

Теперь примените фундаментальную теорему анализа:

∫ 1 3 x^2 dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3)^3 - (1/3)(1)^3

Рассчитайте значение:

F(3) = (1/3)(27) = 9
F(1) = (1/3)(1) = 1/3

Определенный интеграл равен:

9 - 1/3 = 8.67

Таким образом, площадь под кривой f(x) = x^2 от x=1 до x=3 примерно равна 8.67.

Свойства определенных интегралов

Как и арифметические операции, определенные интегралы имеют ряд полезных свойств:

1. Аддитивность

Если c - это точка между a и b, то:

∫ a b f(x) dx = ∫ a c f(x) dx + ∫ c b f(x) dx

Это свойство позволяет нам разбить интеграл на более мелкие, более управляемые части.

2. Линейность

Определенные интегралы уважают дистрибутивное свойство:

∫ a b [cf(x) + dg(x)] dx = c∫ a b f(x) dx + d∫ a b g(x) dx

где c и d - константы. Это позволяет нам разбивать интегралы, включающие суммы или константные множители.

3. Переворот границ

Если изменить пределы интеграла, знак интеграла изменится:

∫ a b f(x) dx = -∫ b a f(x) dx

Это свойство полезно, когда вы случайно поменяли местами пределы интегрирования.

4. Интегрирование нуля

Интеграл от нуля всегда равен нулю:

∫ a b 0 dx = 0

Это отражает идею о том, что если изменение отсутствует, то накопленное изменение также должно быть равно нулю.

Практическое применение определенных интегралов

Определенные интегралы имеют множество практических приложений в различных областях:

  • Физика: Вычисление работы, совершаемой силой, площадь под графиком скорость-время для нахождения перемещения.
  • Экономика: Вычисление избыточной стоимости потребителя и производителя.
  • Инженерия: Проектирование систем, полагающихся на понимание накопленных величин или ограничений, таких как выделение тепла.
  • Биология: Моделирование изменения популяции и понимание темпов роста со временем.

Заключение

Концепция определенного интеграла не только является глубокой принципом в математике, но и ценным инструментом, используемым в различных научных и инженерных дисциплинах. Понимая, как работать с определенными интегралами, вы сможете решать практические задачи, связанные с накопительными процессами или нахождением величин, относящихся к определенным интервалам.

Через призму определенных интегралов многие реальные приложения становятся понятными, что делает эту тему необходимой для полного понимания.


Класс 11 → 4.4.3


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (4.4.2)
Неопределенный интеграл
следующая (4.4.4) →
Основная теорема анализа

комментарии 



Определенный интеграл

https://www.buddymath.com/g11/4.4.3?bmal=ru