11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Integral definida


Bem-vindo à descoberta da integral definida, um conceito importante em cálculo. As integrais definidas são usadas para encontrar a quantidade total acumulada, como a área sob uma curva, o volume de um sólido ou outras quantidades quando funções estão envolvidas.

Compreendendo o básico

A integração é um conceito fundamental do cálculo que combina duas ideias diferentes: acumulação e área. Inicialmente, encontramos a diferenciação, onde encontramos taxas de mudança. A integração é, em certo sentido, o processo oposto. Existem dois tipos principais de integrais no cálculo:

  • Integrais indefinidas, que representam famílias de funções primitivas.
  • Integrais definidas, que fornecem um número representando a mudança acumulada ao longo de um intervalo.

Quando você realiza uma integral definida, você está essencialmente calculando a "acumulação total" de uma função sobre um intervalo específico. O resultado de uma integral definida é um número, não uma função.

Símbolo da integral

O símbolo para unificação é um S alongado: ∫, para "soma", refletindo suas raízes em adição e acumulação.

Notação de integral definida

A integral definida de uma função f(x) de a a b é representada como:

∫ a b f(x) dx

Aqui:

  • a e b são os limites inferior e superior da integral, respectivamente.
  • f(x) é a função que está sendo integrada.
  • dx indica que a integração é com respeito à variável x.

O valor da integral definida de x = a a x = b representa a área líquida entre a função f(x) e o eixo x.

Interpretação geométrica

Geometricamente, a integral definida de uma função corresponde às áreas sob a curva da função sobre algum intervalo no eixo x. A integral definida é a área líquida, com áreas acima do eixo x consideradas positivas e áreas abaixo consideradas negativas.

Vamos considerar um exemplo simples:

A B f(x)

O diagrama acima mostra a curva de uma função contínua f(x) de a a b. A região sombreada representa a integral definida de f(x) de a a b.

Avaliando integrais definidas

A integral definida é calculada usando o teorema fundamental do cálculo. Este teorema conecta a diferenciação e a integração, mostrando que são, essencialmente, processos inversos.

Teorema fundamental do cálculo

Este teorema pode ser afirmado da seguinte forma:

Se F(x) é a primitiva de f(x) no intervalo [a, b], então
∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a)

Isso nos diz que podemos encontrar a integral definida de uma função se pudermos encontrar sua primitiva.

Cálculo de exemplo

Vamos calcular uma integral definida simples: Encontre a integral definida de f(x) = x^2 de x = 1 a x = 3.

Primeiro, encontre a primitiva de f(x) = x^2, que denotaremos por F(x).

Lembre-se de que a primitiva de x^n é (1/(n+1))x^(n+1) + C.

A primitiva de x^2 é:

F(x) = (1/3)x^3

Agora, aplique o teorema fundamental do cálculo:

∫ 1 3 x^2 dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3)^3 - (1/3)(1)^3

Calcule o valor:

F(3) = (1/3)(27) = 9
F(1) = (1/3)(1) = 1/3

A integral definida é:

9 - 1/3 = 8.67

Assim, a área sob a curva f(x) = x^2 de x=1 a x=3 é aproximadamente 8.67.

Propriedades das integrais definidas

Como operações aritméticas, as integrais definidas têm várias propriedades úteis:

1. Aditividade

Se c é um ponto entre a e b, então:

∫ a b f(x) dx = ∫ a c f(x) dx + ∫ c b f(x) dx

Esta propriedade permite dividir uma integral em partes menores e mais gerenciáveis.

2. Linearidade

As integrais definidas respeitam a propriedade distributiva:

∫ a b [cf(x) + dg(x)] dx = c∫ a b f(x) dx + d∫ a b g(x) dx

onde c e d são constantes. Isso nos permite quebrar integrais envolvendo somas ou múltiplos constantes.

3. Reversão de limites

Se você alterar os limites da integral, o sinal da integral muda:

∫ a b f(x) dx = -∫ b a f(x) dx

Esta propriedade é útil quando você acidentalmente inverte seus limites de integração.

4. Integração de zero

A integral de zero é sempre zero:

∫ a b 0 dx = 0

Isso reflete a ideia de que se não há mudança, então a mudança acumulada também deve ser zero.

Aplicações práticas das integrais definidas

As integrais definidas têm muitas aplicações práticas em diversas áreas:

  • Física: Calculando trabalho realizado por uma força, área sob gráfico velocidade-tempo para encontrar deslocamento.
  • Economia: Encontrar excedente do consumidor e do produtor.
  • Engenharia: Projetar sistemas que dependem da compreensão de quantidades armazenadas ou limitações, como geração de calor.
  • Biologia: Modelagem de mudança populacional e compreensão de taxas de crescimento ao longo do tempo.

Conclusão

O conceito de integral definida é não apenas um princípio profundo dentro da matemática, mas também uma ferramenta valiosa usada em diversas disciplinas científicas e de engenharia. Compreendendo como trabalhar com integrais definidas, você será capaz de resolver problemas práticos envolvendo processos cumulativos ou encontrar valores pertencentes a intervalos específicos.

Através da lente das integrais definidas, muitas aplicações do mundo real tornam-se compreensíveis, tornando-o um tópico essencial para entender completamente.


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