Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Integral definida


Bienvenido al descubrimiento de la integral definida, un concepto importante en cálculo. Las integrales definidas se utilizan para encontrar la cantidad total acumulada, como el área bajo una curva, el volumen de un sólido, u otras cantidades cuando se involucran funciones.

Entendiendo los conceptos básicos

La integración es un concepto fundamental del cálculo que combina dos ideas diferentes: acumulación y área. Inicialmente, encontramos la diferenciación, donde encontramos tasas de cambio. La integración es, en cierto sentido, el proceso opuesto. Hay dos tipos principales de integrales en cálculo:

  • Integrales indefinidas, que representan familias de funciones antiderivadas.
  • Integrales definidas, que proporcionan un número que representa el cambio acumulado durante un intervalo.

Cuando realizas una integral definida, esencialmente estás calculando la "acumulación total" de una función sobre un intervalo específico. El resultado de una integral definida es un número, no una función.

Símbolo de la integral

El símbolo para la unificación es una S alargada: ∫, por "suma," reflejando sus raíces en la adición y acumulación.

Notación de la integral definida

La integral definida de una función f(x) desde a hasta b se representa como:

∫ a b f(x) dx

Aquí:

  • a y b son los límites inferior y superior de la integral, respectivamente.
  • f(x) es la función que se está integrando.
  • dx indica que la integración es con respecto a la variable x.

El valor de la integral definida de x = a a x = b representa el área neta entre la función f(x) y el eje x.

Interpretación geométrica

Geométricamente, la integral definida de una función corresponde a las áreas bajo la curva de la función sobre algún intervalo en el eje x. La integral definida es el área neta, con las áreas por encima del eje x consideradas positivas y las áreas por debajo negativas.

Consideremos un ejemplo simple:

A B f(x)

El diagrama anterior muestra la curva de una función continua f(x) desde a hasta b. La región sombreada representa la integral definida de f(x) desde a hasta b.

Evaluación de integrales definidas

La integral definida se calcula utilizando el teorema fundamental del cálculo. Este teorema conecta la diferenciación y la integración, mostrando que son, en esencia, procesos inversos.

Teorema fundamental del cálculo

Este teorema se puede expresar de la siguiente manera:

Si F(x) es la antiderivada de f(x) en el intervalo [a, b], entonces
∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a)

Esto nos dice que podemos encontrar la integral definida de una función si podemos encontrar su antiderivada.

Cálculo de ejemplo

Vamos a calcular una integral definida simple: Encuentra la integral definida de f(x) = x^2 desde x = 1 hasta x = 3.

Primero, encuentra la antiderivada de f(x) = x^2, que denotamos por F(x).

Recuerda que la antiderivada de x^n es (1/(n+1))x^(n+1) + C.

La antiderivada de x^2 es:

F(x) = (1/3)x^3

Ahora, aplica el teorema fundamental del cálculo:

∫ 1 3 x^2 dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3)^3 - (1/3)(1)^3

Calcula el valor:

F(3) = (1/3)(27) = 9
F(1) = (1/3)(1) = 1/3

La integral definida es:

9 - 1/3 = 8.67

Por lo tanto, el área bajo la curva f(x) = x^2 desde x=1 hasta x=3 es aproximadamente 8.67.

Propiedades de las integrales definidas

Al igual que las operaciones aritméticas, las integrales definidas tienen una serie de propiedades útiles:

1. Aditividad

Si c es un punto entre a y b, entonces:

∫ a b f(x) dx = ∫ a c f(x) dx + ∫ c b f(x) dx

Esta propiedad nos permite descomponer una integral en partes más pequeñas y manejables.

2. Linealidad

Las integrales definidas respetan la propiedad distributiva:

∫ a b [cf(x) + dg(x)] dx = c∫ a b f(x) dx + d∫ a b g(x) dx

donde c y d son constantes. Esto nos permite descomponer integrales que involucran sumas o múltiplos constantes.

3. Reversión de límites

Si cambias los límites de la integral, el signo de la integral cambia:

∫ a b f(x) dx = -∫ b a f(x) dx

Esta propiedad es útil cuando accidentalmente inviertes tus límites de integración.

4. Integración de cero

La integral de cero siempre es cero:

∫ a b 0 dx = 0

Esto refleja la idea de que si no hay cambio, entonces el cambio acumulado también debería ser cero.

Aplicaciones prácticas de las integrales definidas

Las integrales definidas tienen muchas aplicaciones prácticas en varios campos:

  • Física: Cálculo del trabajo realizado por una fuerza, área bajo una gráfica de velocidad-tiempo para encontrar el desplazamiento.
  • Economía: Encontrar el excedente del consumidor y del productor.
  • Ingeniería: Diseño de sistemas que dependen de la comprensión de cantidades almacenadas o limitaciones, como la generación de calor.
  • Biología: Modelado del cambio de población y comprensión de tasas de crecimiento a lo largo del tiempo.

Conclusión

El concepto de la integral definida no solo es un principio profundo dentro de las matemáticas, sino también una herramienta valiosa utilizada en disciplinas de ciencia e ingeniería. Al comprender cómo trabajar con integrales definidas, podrás resolver problemas prácticos que involucran procesos acumulativos o encontrar valores pertenecientes a intervalos específicos.

A través del lente de las integrales definidas, muchas aplicaciones del mundo real se vuelven comprensibles, haciéndolo un tema esencial para comprender completamente.


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