Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Integral indefinida


En cálculo, la integración es un concepto clave, y un aspecto de ella es la integral indefinida, la cual es el enfoque de esta lección. Una integral indefinida, a veces referida como antiderivada, representa una amplia gama de funciones en lugar de un solo valor. Es esencialmente el inverso de la derivación, donde comenzamos con la derivada y trabajamos hacia atrás.

Entendiendo las integrales indefinidas

La integral indefinida de una función puede entenderse como la forma general de la antiderivada. Si la antiderivada de una función f(x) es F(x), entonces el proceso de encontrar f(x) F(x) se llama integración. La integral indefinida se representa como:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Aquí, F(x) es la antiderivada de f(x), y C es la constante de integración. Esta constante C es importante porque cuando se deriva F(x) + C, la constante desaparece. Por lo tanto, la integral indefinida puede representar una familia de funciones que difieren por una constante.

Ejemplo visual: Integración básica

Para entender mejor, consideremos la función f(x) = x^2. Vamos a encontrar su integral indefinida.

y = x^2

Sabemos que ∫ x^2 dx da F(x) = (1/3)x^3 + C.

f(x) = (1/3)x^3 + c

Reglas básicas de las integrales indefinidas

Al igual que hay reglas para la derivación, también hay reglas para la integración. Algunas de las reglas básicas son las siguientes:

  • Regla de la constante: ∫ a dx = ax + C
  • Regla del poder: ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (donde n ≠ -1)
  • Regla de la adición: ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
  • Regla de la diferencia: ∫ [f(x) - g(x)] dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx

Estas reglas simplifican el proceso de encontrar integrales indefinidas. Veamos cómo se aplican en diferentes escenarios.

Ejemplos de encontrar integrales indefinidas

Ejemplo 1: Integral de constante

Veamos la integral indefinida de una función constante. Consideremos f(x) = 5 La integral es:

∫ 5 dx = 5x + C

Así, la antiderivada de 5 es 5x + C Este resultado es consistente con la regla de la constante de integración.

Ejemplo 2: Regla del poder

Consideremos f(x) = x^3. Aplicando la regla del poder:

∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C

Aquí, elevamos el poder de x por 1 y dividimos por el nuevo poder, en este caso 4.

Ejemplo 3: Regla de la suma

Sean f(x) = 2x + 3 Usando la regla de la suma, podemos dividir la integral:

∫ (2x + 3) dx = ∫ 2x dx + ∫ 3 dx

Resolveremos cada integral por separado:

∫ 2x dx = 2 * (x^2/2) = x^2
∫ 3 dx = 3x

Por lo tanto, la integral indefinida es:

x^2 + 3x + C

Representación gráfica de las integrales indefinidas

Las integrales indefinidas también se pueden visualizar gráficamente. Cada antiderivada representa una curva que ayuda a entender el comportamiento de la función en diferentes valores de la constante de integración C

F(x) curve with different C

Cada curva en el gráfico anterior representa una antiderivada diferente de una función, enfatizando la importancia de la constante de integración que desplaza estas curvas verticalmente.

Integrales de funciones generales

  • ∫ e^x dx = e^x + C
  • ∫ a^x dx = (a^x / ln(a)) + C (para a > 0 y a ≠ 1)
  • ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
  • ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
  • ∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C
  • ∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C

Estas integrales muestran cómo las funciones que se encuentran con frecuencia pueden ser integradas. Recordar estas formas facilita identificar las integrales indefinidas relacionadas durante los cálculos.

Regla de la cadena y sustitución en la integración

A veces, una función puede ser multiplicada por la derivada de otra función. Estas instancias requieren el uso de métodos de sustitución. La regla de la cadena en la derivación tiene una técnica equivalente en la integración conocida como sustitución.

Por ejemplo, considere la integración de una función como f(x) = (2x+1)^2. Podemos usar el método de sustitución estableciendo u = 2x + 1, lo que da:

du/dx = 2
dx = du/2

Sustituyendo estos en la integral:

∫ (2x+1)^2 dx = ∫ u^2 (du/2) = (1/2) ∫ u^2 du

Al resolver, obtenemos:

(1/2) * (u^3/3) + C

Re-sustituyendo u = 2x + 1 :

(1/6) * (2x+1)^3 + C

Importancia de las condiciones iniciales

Las integrales indefinidas generan una familia de funciones. Para encontrar una solución particular de esta familia, a menudo necesitamos una condición inicial o de frontera. Por ejemplo, si un punto específico pertenece a la función (por ejemplo, F(a) = b), entonces es posible determinar el valor exacto de C.

Consideremos la antiderivada F(x) = (1/3)x^3 + C Si se sabe que F(1) = 4, entonces:

(1/3)*1^3 + C = 4
1/3 + C = 4
C = 4 - 1/3 = 11/3

Así, la función específica es F(x) = (1/3)x^3 + 11/3.

Más ejemplos y ejercicios

Ejemplo 4: Funciones trigonométricas

Encontramos la integral indefinida de sin(x):

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

Otro ejemplo trigonométrico, encontremos la integral de sec^2(x):

∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C

Ejemplo 5: Función exponencial

Consideremos la función f(x) = e^x. Su integral indefinida es:

∫ e^x dx = e^x + C

Calculemos otro ejemplo con una base diferente: integrar a^x. Con a ≠ 1, obtenemos:

∫ a^x dx = (a^x / ln(a)) + C

Conclusión

Las integrales indefinidas son importantes de entender en cálculo porque proporcionan una manera de revertir el proceso de derivación, proporcionando información sobre la función original a partir de una derivada dada. Las integrales indefinidas, que involucran técnicas como las reglas del poder, la sustitución y las reglas de suma y diferencia, son una herramienta fundamental para resolver muchos problemas en matemáticas, física e ingeniería.

A medida que continúe explorando el cálculo, recuerde que la práctica es clave, y la integración de diferentes tipos de funciones usando estos métodos consolidará su comprensión de las integrales indefinidas.


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