11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Antiderivadas


Vamos dar uma olhada mais profunda no conceito de antiderivadas, que é um tópico importante de integração no cálculo. Basicamente, o propósito do cálculo é entender a mudança. Assim como as derivadas tratam de taxas de mudança, as antiderivadas nos ajudam a entender como as coisas se acumulam ou se combinam ao longo do tempo.

Entendendo antiderivadas

Antiderivadas são o inverso das derivadas. Enquanto as derivadas fornecem uma taxa específica de mudança em qualquer ponto, as antiderivadas ajudam a encontrar uma função a partir de sua derivada. Isso é muito semelhante a como a subtração é a operação inversa da adição.

Mais tecnicamente, se você tem uma função f(x) que é a derivada de outra função F(x), então F(x) é uma antiderivada de f(x). Matematicamente, isso pode ser escrito como:

F'(x) = f(x)

Não há apenas uma antiderivada para uma função dada; em vez disso, há, na verdade, um número infinito delas. Isso ocorre porque, se F(x) é a antiderivada de f(x), então também é F(x) + C, onde C é qualquer constante. Essa constante é responsável pela mudança vertical no gráfico da função.

Notação e propriedades

O processo de encontrar a antiderivada é chamado "integração", e a notação usada é um sinal de integral (∫). A integral de f(x) é representada como:

∫f(x) dx = F(x) + C

Aqui, dx indica a variável de integração que é x neste caso.

Vamos entender algumas propriedades básicas:

  • Regra de Potência da Integração: Se f(x) = x^n, então a antiderivada é dada por: 
    ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
    onde n ≠ -1.
  • Regra de Multiplicação por Constante: Se f(x) = c*g(x) onde c é uma constante, então: 
    ∫c*g(x) dx = c*∫g(x) dx
  • Regra da Soma: Se f(x) = g(x) + h(x), então: 
    ∫(g(x) + h(x)) dx = ∫g(x) dx + ∫h(x) dx

Problemas exemplo e soluções

Exemplo 1: Encontrando a antiderivada

Suponha que você tenha f(x) = 3x^2. Vamos encontrar a antiderivada de f(x).

Solução:

Usando a regra de potência da integração:

∫3x^2 dx = 3 * ∫x^2 dx

Aplique a regra de potência:

3 * (x^(2+1))/(2+1) + C = (3/3)*x^3 + C = x^3 + C

Assim, a antiderivada de 3x^2 é x^3 + C

Exemplo 2: Lidando com múltiplas palavras

Considere f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 7 Encontre a antiderivada.

Solução:

Use a regra da soma:

∫(4x^3 + 2x^2 + 7) dx = ∫4x^3 dx + ∫2x^2 dx + ∫7 dx

Integrando cada termo separadamente:

4 * ∫x^3 dx = (4/4) * x^4 + C1 = x^4 2 * ∫x^2 dx = (2/3) * x^3 + C2 ∫7 dx = 7x + C3

A antiderivada se torna:

x^4 + (2/3)x^3 + 7x + C

Representação gráfica

É igualmente importante entender antiderivadas graficamente. Considere um exemplo:

f(x) = 2x

A derivada de x^2 é 2x, então uma antiderivada de 2x seria x^2.

 +C (Gráficos deslocados) | x^2 + 4 | x^2 + 3 | x^2 + 2 | x^2 + 1 | x^2

Quando diferentes valores de C são dados, cada linha representa uma antiderivada específica. Cada deslocamento vertical representa outra antiderivada, o que enfatiza o fato de que antiderivadas podem diferir por uma constante.

Vamos ver como a integração pode parecer em um gráfico SVG. Vamos supor que a função f(x) = x. Sua antiderivada é F(x) = (1/2)x^2 + C

Este gráfico SVG exibe uma curva parabólica, que representa a antiderivada de f(x) = x.

Mais problemas de prática

Tentar mais exemplos pode melhorar ainda mais sua compreensão das antiderivadas. Aqui estão alguns problemas para aprimorar suas habilidades:

  1. Encontre a antiderivada de f(x) = x^5 + 3x^3 + x.
  2. Calcule a antiderivada de g(x) = cos(x).
  3. Determine a antiderivada para h(x) = e^x.

Solução

  1. Aplique a regra de potência: 
    ∫(x^5 + 3x^3 + x) dx = (x^(5+1))/(5+1) + 3*(x^(3+1))/(3+1) + (x^(1+1))/(1+1) + C
    Simplificado: 
    (1/6)x^6 + (3/4)x^4 + (1/2)x^2 + C
  2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C
  3. ∫e^x dx = e^x + C

Conclusão

As antiderivadas são essenciais para integrar funções e resolver problemas envolvendo áreas sob curvas, quantidades acumulativas e entender a acumulação de quantidades ao longo do tempo. Compreender esses conceitos não apenas ajuda em matemática, mas também oferece enormes aplicações em física, engenharia, economia e além.

Ao compreender a teoria, praticar a resolução de problemas e considerar interpretações gráficas, você se tornará proficiente no uso de antiderivadas no cálculo. Continue interagindo com diferentes problemas, e em breve, integrar funções se tornará uma segunda natureza.


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