प्रतिलेखी

आइए प्रतिलेखी की अवधारणा को गहराई से समझें, जो गणित में एक महत्वपूर्ण विषय है। मूल रूप से, गणित का उद्देश्य परिवर्तन को समझना है। जैसे गणित में विद्युत दरों का उपयोग किया जाता है, प्रतिलेखी हमें यह समझने में मदद करती है कि चीजें समय के साथ कैसे इकट्ठा होती हैं या मिलती हैं।

प्रतिलेखी को समझना

प्रतिलेखी, विद्युत की प्रतिवृत्त होती है। जबकि विद्युतें किसी भी बिंदु पर एक विशिष्ट परिवर्तन दर प्रदान करती हैं, प्रतिलेखी हमें इसकी विद्युत से एक फ़ंक्शन खोजने में मदद करती है। यह बहुत सीधा है जैसे घटाव, योग का विपरीत संक्रिया है।

और अधिक तकनीकी तरीके से, यदि आपके पास f(x) नामक एक फ़ंक्शन है जो किसी अन्य फ़ंक्शन F(x) की विद्युत होता है, तो F(x) का प्रतिलेखी होता है f(x)। गणितीय दृष्टि से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

F'(x) = f(x)

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए केवल एक प्रतिलेखी नहीं होती है; इसके बजाय, वस्तुतः उनकी अनंत संख्या होती है। इसका कारण यह है कि यदि F(x) का प्रतिलेखी है f(x) तो F(x) + C भी होता है, जहां C कोई भी स्थिरांक होता है। यह स्थिरांक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऊर्ध्वाधर खिसकाव के लिए उत्तरदायी होता है।

समारोह और गुण

प्रतिलेखी खोजने की प्रक्रिया को "गरणन" कहा जाता है, और इसका परिचालन प्रतीक, एक गरण चिन्ह (∫) होता है। f(x) का गरण इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता है:

∫f(x) dx = F(x) + C

यहां, dx उस परिवर्तनशील का सूचक है जिसका गरण किया जा रहा है, जो इस मामले में x है।

आइए कुछ मूलभूत गुणों को समझें:

• गरण का शक्ति नियम: यदि f(x) = x^n, तो प्रतिलेखी इस प्रकार दी जाती है:

  ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C

  जहां n ≠ -1।
• स्थिर गुणन नियम: यदि f(x) = c*g(x) जहां c एक स्थिरांक है, तो:

  ∫c*g(x) dx = c*∫g(x) dx

• योग नियम: यदि f(x) = g(x) + h(x), तो:

  ∫(g(x) + h(x)) dx = ∫g(x) dx + ∫h(x) dx

उदाहरण समस्याएं और समाधान

उदाहरण 1: प्रतिलेखी खोजने का प्रयास

मान लीजिए आपके पास f(x) = 3x^2 है। आइए f(x) की प्रतिलेखी खोजें।

समाधान:

शक्ति नियम का उपयोग करते हुए:

∫3x^2 dx = 3 * ∫x^2 dx

शक्ति नियम लागू करें:

3 * (x^(2+1))/(2+1) + C = (3/3)*x^3 + C = x^3 + C

इसलिए 3x^2 की प्रतिलेखी है x^3 + C

उदाहरण 2: कई शब्दों का निवारण

विचार करें f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 7 प्रतिलेखी का पता लगाएं।

समाधान:

योग नियम का उपयोग करें:

∫(4x^3 + 2x^2 + 7) dx = ∫4x^3 dx + ∫2x^2 dx + ∫7 dx

प्रत्येक पद को अलग-अलग गरण करें:

4 * ∫x^3 dx = (4/4) * x^4 + C1 = x^4 2 * ∫x^2 dx = (2/3) * x^3 + C2 ∫7 dx = 7x + C3

प्रतिलेखी हो जाती है:

x^4 + (2/3)x^3 + 7x + C

ग्राफ़िकल प्रदर्शनी

यह प्रतिलेखी को ग्राफ़िकल रूप में समझना उतना ही महत्वपूर्ण है। एक उदाहरण पर विचार करें:

f(x) = 2x

x^2 की विद्युत 2x है, तो 2x की प्रतिलेखी होगी x^2।

 +C (खिसकाव वाले ग्राफ) | x^2 + 4 | x^2 + 3 | x^2 + 2 | x^2 + 1 | x^2

जब विभिन्न मूल्यों को C दिए जाते हैं, तो हर रेखा एक विशेष प्रतिलेखी को प्रदर्शित करती है। प्रत्येक ऊर्ध्वाधर खिसकाव एक अन्य प्रतिलेखी को प्रदर्शित करता है, जो प्रतिलेखियों के स्थिरांक से भिन्न हो सकने की बात को प्रमुख करता है।

आइए देखें कि एक एसवीजी ग्राफ़ में गरण कैसे दिखाई दे सकता है। मान लीजिए फ़ंक्शन f(x) = x। इसकी प्रतिलेखी है F(x) = (1/2)x^2 + C

यह एसवीजी ग्राफ़ एक पराबोलिक वक्र प्रदर्शित करता है, जो f(x) = x की प्रतिलेखी को प्रदर्शित करता है।

अधिक अभ्यास समस्याएं

अधिक उदाहरणों को आजमा कर देखने से आपकी प्रतिलेखी समझने की क्षमता सुधर सकती है। अपनी कौशल को सही करने के लिए यहां कुछ समस्याएं हैं:

1. f(x) = x^5 + 3x^3 + x की प्रतिलेखी खोजें।
2. g(x) = cos(x) की प्रतिलेखी की गणना करें।
3. h(x) = e^x की प्रतिलेखी का निर्धारण करें।

समाधान

1. शक्ति नियम लागू करें:

   ∫(x^5 + 3x^3 + x) dx = (x^(5+1))/(5+1) + 3*(x^(3+1))/(3+1) + (x^(1+1))/(1+1) + C

   सरल:

   (1/6)x^6 + (3/4)x^4 + (1/2)x^2 + C

2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C
3. ∫e^x dx = e^x + C

निष्कर्ष

प्रतिलेखी फ़ंक्शनों को गराण करने और वक्रों के नीचे के क्षेत्रों, संचयी मात्राओं को हल करने की समस्याओं के लिए आवश्यक होती हैं, और समय के साथ मात्राओं के संचय को समझने में मदद करती हैं। इन संकल्पनाओं को न केवल गणित में बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, और उससे आगे के विशाल अनुप्रयोग भी प्रदान करती हैं।

सिद्धांत को समझकर, समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हुए, और ग्राफ़िकल व्याख्या पर विचार करके, आप गणित में प्रतिलेखियों का उपयोग करने में दक्ष हो जाएंगे। विभिन्न समस्याओं के साथ संवाद करते रहें, और जल्द ही, फ़ंक्शनों को गराण करना स्वाभाविक महसूस होगा।

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