Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Introducción al cálculo → ¿Qué es la integración? ↓


Antiderivadas


Echemos un vistazo más profundo al concepto de antiderivadas, que es un tema importante de integración en cálculo. Básicamente, el propósito del cálculo es entender el cambio. Así como las derivadas tratan sobre las tasas de cambio, las antiderivadas nos ayudan a entender cómo las cosas se acumulan o combinan con el tiempo.

Entendiendo las antiderivadas

Las antiderivadas son el inverso de las derivadas. Mientras que las derivadas proporcionan una tasa específica de cambio en cualquier punto, las antiderivadas ayudan a encontrar una función a partir de su derivada. Esto es muy similar a cómo la resta es la operación inversa de la suma.

Más técnicamente, si tienes una función f(x) que es la derivada de otra función F(x), entonces F(x) es una antiderivada de f(x). Matemáticamente, esto se puede escribir como:

F'(x) = f(x)

No hay solo una antiderivada para una función dada; en cambio, hay en realidad un número infinito de ellas. Esto se debe a que si F(x) es la antiderivada de f(x), entonces también lo es F(x) + C, donde C es cualquier constante. Esta constante es responsable del desplazamiento vertical en el gráfico de la función.

Notación y propiedades

El proceso de encontrar la antiderivada se llama "integración", y la notación utilizada es un signo de integral (∫). La integral de f(x) se representa como:

∫f(x) dx = F(x) + C

Aquí, dx indica la variable de integración que es x en este caso.

Entendamos algunas propiedades básicas:

  • Regla de Potencia de Integración: Si f(x) = x^n, entonces la antiderivada está dada por: 
    ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
    donde n ≠ -1.
  • Regla de Multiplicación por Constante: Si f(x) = c*g(x) donde c es una constante, entonces: 
    ∫c*g(x) dx = c*∫g(x) dx
  • Regla de la Suma: Si f(x) = g(x) + h(x), entonces: 
    ∫(g(x) + h(x)) dx = ∫g(x) dx + ∫h(x) dx

Problemas de ejemplo y soluciones

Ejemplo 1: Encontrar la antiderivada

Supongamos que tienes f(x) = 3x^2. Vamos a encontrar la antiderivada de f(x).

Solución:

Usando la regla de potencia de la integración:

∫3x^2 dx = 3 * ∫x^2 dx

Aplicando la regla de potencia:

3 * (x^(2+1))/(2+1) + C = (3/3)*x^3 + C = x^3 + C

Así que la antiderivada de 3x^2 es x^3 + C

Ejemplo 2: Tratando con múltiples términos

Considera f(x) = 4x^3 + 2x^2 + 7 Encuentra la antiderivada.

Solución:

Usa la regla de la suma:

∫(4x^3 + 2x^2 + 7) dx = ∫4x^3 dx + ∫2x^2 dx + ∫7 dx

Integrando cada término por separado:

4 * ∫x^3 dx = (4/4) * x^4 + C1 = x^4 2 * ∫x^2 dx = (2/3) * x^3 + C2 ∫7 dx = 7x + C3

La antiderivada se convierte en:

x^4 + (2/3)x^3 + 7x + C

Representación gráfica

Es igualmente importante entender las antiderivadas gráficamente. Considera un ejemplo:

f(x) = 2x

La derivada de x^2 es 2x, entonces una antiderivada de 2x sería x^2.

 +C (Gráficas desplazadas) | x^2 + 4 | x^2 + 3 | x^2 + 2 | x^2 + 1 | x^2

Cuando se dan diferentes valores de C, cada línea representa una antiderivada específica. Cada desplazamiento vertical representa otra antiderivada, lo que enfatiza el hecho de que las antiderivadas pueden diferir por una constante.

Veamos cómo podría verse la integración en un gráfico SVG. Supongamos la función f(x) = x. Su antiderivada es F(x) = (1/2)x^2 + C

Este gráfico SVG muestra una curva parabólica, que representa la antiderivada de f(x) = x.

Más problemas de práctica

Probar más ejemplos puede mejorar aún más tu comprensión de las antiderivadas. Aquí hay algunos problemas para mejorar tus habilidades:

  1. Encuentra la antiderivada de f(x) = x^5 + 3x^3 + x.
  2. Calcula la antiderivada de g(x) = cos(x).
  3. Determina la antiderivada para h(x) = e^x.

Solución

  1. Aplica la regla de potencia: 
    ∫(x^5 + 3x^3 + x) dx = (x^(5+1))/(5+1) + 3*(x^(3+1))/(3+1) + (x^(1+1))/(1+1) + C
    Simplificado: 
    (1/6)x^6 + (3/4)x^4 + (1/2)x^2 + C
  2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C
  3. ∫e^x dx = e^x + C

Conclusión

Las antiderivadas son esenciales para integrar funciones y resolver problemas que involucran áreas bajo curvas, cantidades acumulativas y para entender la acumulación de cantidades con el tiempo. Comprender estos conceptos no solo ayuda en matemáticas, sino que también proporciona aplicaciones inmensas en física, ingeniería, economía y más allá.

Al entender la teoría, practicar la resolución de problemas y considerar interpretaciones gráficas, se volverá competente en el uso de antiderivadas en cálculo. Sigue interactuando con diferentes problemas, y pronto, integrar funciones se convertirá en algo natural.


Grado 11 → 4.4.1


U
username
0%
completado en Grado 11

← Anterior (4.4)
¿Qué es la integración?
Siguiente (4.4.2) →
Integral indefinida

Comentarios 



Antiderivadas

https://www.buddymath.com/g11/4.4.1?bmal=es