微分应用中的相关变化率

相关变化率是微积分中微分的一个迷人应用，它帮助我们理解不同量随时间互相改变的方式。在现实生活中，许多情况下涉及相互关联并共同变化的量。例如，当气球半径增加时，气球内空气的体积如何变化，或者移动的人影子的长度如何随时间变化。相关变化率问题使我们能够计算一种量的变化率如何影响另一种量。

理解概念

在我们深入讨论例子之前，让我们考虑基本思想。在相关变化率问题中，通常会有两种或多种随时间变化的量之间的数学关系。你得到其中一种量的变化率，并要求找出另一种量的变化率。

解决相关变化率问题时，让我们考虑两个基本步骤：

1. 找到关系：识别连接两种或多种变化量的公式或方程。这通常是几何或代数关系。
2. 对时间求导：一旦理解了这种关系，就对其关于时间求导。这使你能关联所涉及的量的不同变化率。

例子1：扩展圆

可视化示例

想象一个半径为 (r) 的圆，它的半径随时间增加。我们通常对随着半径增加圆的面积如何变化感兴趣。已知圆的面积 (A) 与其半径 (r) 的关系由以下方程给出：

A = pi r^2

假设你知道半径 (r) 以恒定速率 5 cm/秒增加。我们想知道当半径为 10 cm 时圆的面积增加得多快。

问题的解决方案

1. 对关系式关于时间 (t) 求导。记住 (A) 和 (r) 都是时间 (t) 的函数。

(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})

2. 你知道 (frac{dr}{dt} = 5) cm/秒，你需要找到 (r = 10) cm 时的 (frac{dA}{dt})。

(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)

因此，当半径为 10 cm 时，圆的面积以 (100pi) 平方厘米每秒的速率增加。

例子2：墙上的梯子

文本示例

考虑一个经典问题，一架梯子靠在一堵垂直墙上。梯子的长度为 15 英尺。梯子的底部以每秒 2 英尺的速度从墙上拉开。我们需要找出当梯子的底部离墙 9 英尺时，梯子的顶部以多快的速度沿墙滑下。

问题的解决方案

1. 建立梯子底部与墙之间距离（称为 (x)）、梯子在墙上的高度（称为 (y））和梯子长度（恒定为 15 英尺）之间的关系。使用毕达哥拉斯定理：

x^2 + y^2 = 15^2

2. 对方程的每一边关于时间 (t) 求导：

(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))

2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0

我们知道 (x = 9)，(frac{dx}{dt} = 2) ft/s，我们需要找到 (frac{dy}{dt})。先用 (x = 9) 求 (y)：

9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{选择正值，因为高度为正值})

现在将这些值代入到微分方程中：

2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5

因此，当梯子的底部离墙 9 英尺时，梯子的顶部以 1.5 英尺每秒的速度沿墙滑下。

例子3：从圆锥中抽水

文本示例

想象一个倒置的圆锥形水槽，水从中流出。水槽顶部的半径为 5 米，高为 10 米。水以每分钟 3 立方米的速度流出。在某个时间点，水位高为 6 米。你需要找出此时水位下降的速度。

建立关系

最初，圆锥底面半径为 (r)，高为 (h) 的体积 (V)：

V = frac{1}{3}pi r^2 h

在此设置中，随着水的流失，(r) 和 (h) 会改变，但它们保持恒定的比例。此比例来自圆锥被排空时三角形的相似性：

frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}

将其代入体积方程：

V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^3

3. 对体积方程关于时间求导：

frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}

给定 (frac{dV}{dt} = -3) 立方米/分钟（负值因为体积在减少），及 (h = 6)。将这些代入微分方程：

-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}

结果表明，当水的高度为 6 米时，水槽中的水位下降速度约为 (-frac{1}{3pi}) 米每分钟。

结论

相关变化率问题为我们提供了一种强大的技术，帮助理解一种量的变化率如何影响另一种量。它不仅是一种迷人的数学练习，也是解决物理、工程甚至生物学等领域中现实问题的重要工具。通过建立量之间的关系并对其关于时间求导，我们深入了解到周围动态过程。

在这些例子中，你已经看到如何将物理情景转化为数学模型，如何使用微积分提取关于变化率的信息，以及如何在问题的背景下有意义地解释这些结果。通过不同场景的练习，你对这一概念的理解不断加深，使你在遇到复杂的情况时更容易应用它。

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