Связанные скорости в применениях дифференцирования

Связанные скорости — это захватывающее применение дифференцирования в математическом анализе, которое помогает нам понять, как различные величины изменяются друг относительно друга с течением времени. В реальной жизни многие ситуации предполагают величины, которые связаны друг с другом и изменяются вместе. Например, как изменяется объем воздуха внутри шара по мере увеличения его радиуса или как меняется длина тени от движущегося человека со временем. Задачи на связанные скорости позволяют нам рассчитать, как скорость изменения одной величины влияет на другую.

Понимание концепции

Прежде чем углубляться в примеры, давайте рассмотрим основную идею. В задачах на связанные скорости вы обычно имеете математическую связь между двумя или более величинами, которые могут изменяться со временем. Вам дана скорость изменения одной из этих величин, и требуется найти скорость изменения другой величины.

Рассмотрим два основных шага при решении задач на связанные скорости:

1. Найти связь: Определите формулу или уравнение, связывающее две или более изменяющиеся величины. Это обычно геометрическая или алгебраическая связь.
2. Дифференцировать по времени: Когда вы поняли эту связь, продифференцируйте ее по времени. Это позволит вам соотнести различные скорости изменения вовлеченных величин.

Пример 1: Расширяющийся круг

Визуальный пример

Представьте себе круг с радиусом (r), который увеличивается со временем. Нас часто интересует, как изменяется площадь круга по мере увеличения радиуса. Мы знаем, что связь между площадью (A) круга и его радиусом (r) задается уравнением:

A = pi r^2

Предположим, что вы знаете, что радиус (r) увеличивается с постоянной скоростью 5 см/сек. Мы хотим узнать, с какой скоростью площадь круга увеличивается, когда радиус равен 10 см.

Решение задачи

1. Дифференцируем связь по времени (t). Помните, что (A) и (r) — это функции времени (t).

(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})

2. Вам дано, что (frac{dr}{dt} = 5) см/сек, и вы должны найти (frac{dA}{dt}), когда (r = 10) см.

(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)

Таким образом, когда радиус равен 10 см, площадь круга увеличивается с скоростью (100pi) квадратных см в секунду.

Пример 2: Лестница на стене

Текстовый пример

Рассмотрим классическую задачу, в которой лестница покоится на вертикальной стене. Длина лестницы составляет 15 футов. Нога лестницы оттаскивается от стены с скоростью 2 фута в секунду. Мы должны найти, как быстро верх лестницы соскальзывает по стене, когда основание лестницы находится на расстоянии 9 футов от стены.

Решение задачи

1. Установите связь между расстоянием основания от стены (назовем его (x)), высотой лестницы на стене (назовем ее (y)), и длиной лестницы (которая постоянна и равна 15 футов). Используйте теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

x^2 + y^2 = 15^2

2. Дифференцируйте обе стороны уравнения по времени (t):

(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))

2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0

Мы знаем (x = 9), (frac{dx}{dt} = 2) фт/с, и нам нужно найти (frac{dy}{dt}). Сначала решите для (y), используя (x = 9):

9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{выбор положительного значения, так как высота положительна})

Теперь подставьте эти значения в дифференцированное уравнение:

2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5

Таким образом, верх лестницы соскальзывает по стене с скоростью 1,5 фута в секунду, когда основание находится на расстоянии 9 футов от стены.

Пример 3: Удаление воды из конуса

Текстовый пример

Представьте себе конический резервуар с перевернутым расположением, из которого вытекает вода. Радиус верхней поверхности резервуара составляет 5 м, а высота — 10 м. Вода вытекает из резервуара со скоростью 3 кубических метра в минуту. В определённый момент уровень воды составляет 6 м. Нужно найти скорость падения уровня воды в это время.

Определение связи

Первоначально, объем (V) конуса с радиусом основания (r) и высотой (h) определяется как:

V = frac{1}{3}pi r^2 h

В этой установке (r) и (h) изменяются по мере истечения воды, но сохраняют постоянное соотношение. Это соотношение вытекает из подобия треугольников, образованных конусом по мере его истощения:

frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}

Подставьте это в уравнение объема:

V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^3

3. Дифференцируйте уравнение объема по времени:

frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}

Мы знаем, что (frac{dV}{dt} = -3) м³/мин (отрицательное, так как объем уменьшается), и (h = 6). Подставьте эти значения в дифференцированное уравнение:

-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}

Этот результат показывает, что когда высота воды составляет 6 м, уровень воды в резервуаре падает с скоростью примерно (-frac{1}{3pi}) м в минуту.

Заключение

Задачи на связанные скорости предоставляют нам мощный инструмент для понимания того, как скорость изменения одной величины может влиять на другую. Это не только захватывающее математическое упражнение, но и важный инструмент для решения реальных задач в таких областях, как физика, инженерия и даже биология. Установив связи между величинами и продифференцировав их по времени, мы получаем понимание динамических процессов вокруг нас.

В этих примерах вы увидели, как преобразовать физическую ситуацию в математическую модель, как использовать математический анализ для извлечения информации о скоростях изменения, и как интерпретировать эти результаты в контексте задачи. Практика в различных сценариях увеличивает ваше понимание этой концепции, облегчая ее применение к более сложным ситуациям, с которыми вы сталкиваетесь позже.

комментарии