Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação

Taxas relacionadas são uma aplicação fascinante da diferenciação no cálculo que nos ajuda a entender como diferentes quantidades mudam em relação umas às outras ao longo do tempo. Na vida real, muitas situações envolvem quantidades que estão relacionadas umas com as outras e mudam juntas. Por exemplo, como o volume de ar dentro de um balão muda à medida que seu raio aumenta ou como a sombra de uma pessoa em movimento muda seu comprimento ao longo do tempo. Problemas de taxas relacionadas nos permitem calcular como a taxa de mudança de uma quantidade afeta outra.

Compreendendo o conceito

Antes de mergulharmos nos exemplos, vamos considerar a ideia básica. Em problemas de taxas relacionadas, geralmente há uma relação matemática entre duas ou mais quantidades que podem mudar ao longo do tempo. Você recebe a taxa na qual uma dessas quantidades muda e é solicitado a encontrar a taxa de mudança da outra quantidade.

Vamos considerar dois passos fundamentais ao resolver problemas de taxas relacionadas:

1. Encontre a relação: Identifique uma fórmula ou equação que conecte duas ou mais quantidades em mudança. Geralmente, é uma relação geométrica ou algébrica.
2. Diferencie em relação ao tempo: Depois de entender essa relação, diferencie-a em relação ao tempo. Isso permite relacionar diferentes taxas de mudança das quantidades envolvidas.

Exemplo 1: Círculo em expansão

Exemplo visual

Imagine um círculo com um raio (r) que está aumentando ao longo do tempo. Frequentemente, estamos interessados em como a área de um círculo muda à medida que o raio aumenta. Sabemos que a relação entre a área (A) de um círculo e seu raio (r) é dada pela equação:

A = pi r^2

Suponha que o raio (r) esteja aumentando a uma taxa constante de 5 cm/s. Queremos descobrir a rapidez com que a área do círculo está aumentando quando o raio é de 10 cm.

Solução do problema

1. Diferencie a relação em relação ao tempo (t). Lembre-se de que (A) e (r) são funções do tempo (t).

(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})

2. Você tem que (frac{dr}{dt} = 5) cm/s e precisa encontrar (frac{dA}{dt}) quando (r = 10) cm.

(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)

Portanto, quando o raio é de 10 cm, a área do círculo está aumentando a uma taxa de (100pi) cm² por segundo.

Exemplo 2: Escada contra uma parede

Exemplo textual

Considere um problema clássico onde uma escada está apoiada contra uma parede vertical. O comprimento da escada é de 15 pés. O pé da escada está sendo afastado da parede a uma taxa de 2 pés por segundo. Temos a tarefa de encontrar a rapidez com que o topo da escada está deslizando para baixo na parede quando a base da escada está a 9 pés da parede.

Solução do problema

1. Estabeleça a relação entre a distância da base à parede (chame de (x)), a altura da escada na parede (chame de (y)), e o comprimento da escada (que é constante e igual a 15 pés). Use o Teorema de Pitágoras para esse triângulo retângulo:

x^2 + y^2 = 15^2

2. Diferencie ambos os lados da equação em relação ao tempo (t):

(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))

2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0

Sabemos que (x = 9), (frac{dx}{dt} = 2) pés/s e precisamos encontrar (frac{dy}{dt}). Primeiro, resolva (y) usando (x = 9):

9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{escolhendo o valor positivo, pois a altura é positiva})

Agora, substitua esses valores na equação diferenciada:

2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5

Assim, o topo da escada está deslizando para baixo na parede a uma taxa de 1,5 pés por segundo, enquanto a base está a 9 pés da parede.

Exemplo 3: Removendo água de um cone

Exemplo textual

Imagine um tanque cônico em posição invertida de onde a água está saindo. O raio da superfície superior do tanque é de 5 m e a altura é de 10 m. A água está saindo do tanque a uma taxa de 3 metros cúbicos por minuto. Em determinado momento, o nível da água está a 6 m de altura. Você tem que encontrar a taxa de queda do nível da água naquele momento.

Preparando a relação

Inicialmente, o volume (V) de um cone com raio da base (r) e altura (h) é dado por:

V = frac{1}{3}pi r^2 h

Nesta configuração, (r) e (h) mudam conforme a água é drenada, mas eles mantêm uma proporção constante. Esta proporção é derivada da semelhança dos triângulos formados pelo cone à medida que ele é drenado:

frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}

Substitua isso na equação de volume:

V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^3

3. Diferencie a equação de volume em relação ao tempo:

frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}

Sabemos que (frac{dV}{dt} = -3) m³/min (negativo porque o volume está diminuindo) e (h = 6). Substitua esses valores na equação diferenciada:

-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}

Este resultado indica que, quando a altura da água é de 6 m, o nível de água no tanque está caindo a uma taxa de cerca de (-frac{1}{3pi}) m por minuto.

Conclusão

Problemas de taxas relativas nos dão uma poderosa técnica para entender como a taxa de mudança de uma quantidade pode afetar outra. Não é apenas um exercício matemático fascinante, mas também uma ferramenta vital para resolver problemas da vida real em campos como física, engenharia e até mesmo biologia. Ao estabelecer relações entre quantidades e diferenciá-las em relação ao tempo, ganhamos uma visão dos processos dinâmicos ao nosso redor.

Nestes exemplos, você viu como transformar uma situação física em um modelo matemático, como usar o cálculo para extrair informações sobre taxas de mudança e como interpretar esses resultados de maneira significativa no contexto do problema. Praticar com diferentes cenários aumenta sua compreensão desse conceito, facilitando sua aplicação em situações mais complexas que você encontrar mais tarde.

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