微分の応用における関連レート
関連レートは、微分積分における微分の応用の一つで、異なる量がお互いに時間とともにどのように変化するかを理解するのに役立ちます。実生活では、多くの状況で、お互いに関連し、一緒に変化する量が関与しています。例えば、風船の内部空気の体積が半径の増加に伴ってどのように変化するか、または移動する人の影が時間とともにどのように長さを変えるかなどです。関連レート問題を用いると、ある量の変化率が別の量にどのように影響を与えるかを計算することができます。
概念の理解
例に進む前に、基本的な考え方を考えてみましょう。関連レート問題では、通常、時間とともに変化可能な2つ以上の量の間に数学的な関係が存在します。これらの量のうち1つがどのような率で変化するかが与えられ、別の量の変化率を求めることが求められます。
関連レート問題を解く際には、以下の2つの基本的なステップを考慮します:
- 関係を見つける: 変化する2つ以上の量を結びつける公式または方程式を特定します。これは通常、幾何学的または代数的な関係です。
- 時間に関して微分する: この関係を理解したら、それを時間に関して微分します。これにより、関与する量の異なる変化率を関連づけることができます。
例1: 拡大する円
視覚的な例
半径(r)が時間とともに増加する円を想像してみてください。私たちはしばしば、半径が増加すると円の面積がどのように変化するかに興味を持ちます。円の面積(A)とその半径(r)の関係は、次の方程式で与えられます:
A = pi r^2仮に、半径(r)が一定の速度で5 cm/sec増加しているとしましょう。このとき、半径が10 cmのときに円の面積がどれだけ速く増加しているかを求めます。
問題の解決策
1. 関係を時間(t)に関して微分します。ここで、(A)と(r)は時間(t)の関数であることを忘れないでください。
(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})2. 与えられた情報は(frac{dr}{dt} = 5) cm/secであり、(r = 10) cmのときに(frac{dA}{dt})を求める必要があります。
(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)したがって、半径が10 cmのとき、円の面積は1秒間に(100pi)平方センチメートルの速度で増加しています。
例2: 壁に立てかけられたはしご
テキスト例
代表的な問題として、はしごが垂直の壁に立てかけられている状況を考えましょう。はしごの全長は15フィートです。はしごの足元は壁から毎秒2フィートの速さで離れていっています。このとき、はしごの足元が壁から9フィート離れているときにはしごの上端が壁を下る速さを求めます。
問題の解決策
1. 壁からの基底部の距離（これを(x)と呼ぶ）、壁の上のはしごの高さ（これを(y)と呼ぶ）、およびはしごの長さ（これは定数で15フィートです）の間の関係を確立します。この直角三角形にピタゴラスの定理を用います:
x^2 + y^2 = 15^22. 時間(t)に関して方程式の両辺を微分します:
(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0(x = 9)、(frac{dx}{dt} = 2) ft/sが知られており、(frac{dy}{dt})を求める必要があります。まず、(x = 9)を用いて(y)を解きます:
9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{高さは正なので正の値を選択します})これらの値を微分した方程式に代入します:
2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5したがって、はしごの上端は、基底部が壁から9フィート離れたとき、1.5フィート毎秒の速度で壁を滑り下っています。
例3: コーンからの水の排出
テキスト例
逆さまにした円錐形のタンクから水が流れ出る状況を考えてみましょう。タンクの上部の半径は5 mで、高さは10 mです。水がタンクから毎分3立方メートルの速度で流れ出ています。ある時点で、水の高さが6 mであるときの水位の低下速度を求める必要があります。
関係の整理
基本的に、底面の半径(r)と高さ(h)を持つ円錐の体積(V)は次の式で与えられます:
V = frac{1}{3}pi r^2 hこの設定では、水が排出されるにつれて(r)と(h)は変化しますが、一定の比率を保ちます。この比率は、円錐が排出されるにつれて形成される三角形の相似性から導出されます:
frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}この式を体積の方程式に代入します:
V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^33. 体積の式を時間に関して微分します:
frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}(frac{dV}{dt} = -3) m³/min（体積が減少しているため負）および(h = 6)が与えられています。これらを微分した方程式に代入します:
-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}この結果は、水の高さが6 mのとき、タンク内の水位が約(-frac{1}{3pi}) m毎分の速度で低下していることを示しています。
結論
関連レート問題は、ある量の変化率が別の量にどのように影響を与えるかを理解するための強力な手段を提供します。それは魅力的な数学的演習であるだけでなく、物理学、工学、さらに生物学のような実生活の問題を解決するための重要なツールです。量の間の関係を確立し、それを時間に関して微分することで、私たちは周囲の動的プロセスについて洞察を得ることができます。
これらの例で、物理的な状況を数学的モデルに変換し、変化率に関する情報を抽出するために微分を使用し、その結果を問題の文脈で意味のある形で解釈する方法を見てきました。さまざまなシナリオを練習することで、この概念の理解が深まり、後に遭遇するより複雑な状況に適用するのが容易になります。
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