अंतरकरण के अनुप्रयोगों में संबंधित दरें

संबंधित दरें कलन में अंतरकरण का एक दिलचस्प अनुप्रयोग हैं जो हमें यह समझने में मदद करता है कि कैसे विभिन्न मात्राएँ एक दूसरे के संबंध में समय के साथ बदलती हैं। वास्तविक जीवन में, कई स्थितियों में मात्राएँ शामिल होती हैं जो एक दूसरे से संबंधित होती हैं और एक साथ बदलती हैं। उदाहरण के लिए, जब गुब्बारे के अंदर की हवा का आयतन उसके त्रिज्या के बढ़ने के साथ कैसे बदलता है या कैसे चलती हुई व्यक्ति की छाया की लंबाई समय के साथ बदलती है। संबंधित दर समस्याएं हमें यह गणना करने की अनुमति देती हैं कि एक मात्रा की दर में परिवर्तन दूसरी को कैसे प्रभावित करता है।

अवधारणा को समझना

उदाहरणों में गोता लगाने से पहले, आइए बुनियादी विचार पर विचार करें। संबंधित दर की समस्याओं में, आमतौर पर आपके पास दो या अधिक मात्राओं के बीच एक गणितीय संबंध होता है जो समय के साथ बदल सकते हैं। आपको उन मात्राओं में से एक के परिवर्तन की दर दी जाती है और आपसे दूसरे मात्रा की परिवर्तन दर खोजने को कहा जाता है।

संबंधित दर समस्याओं को हल करते समय हम दो मौलिक चरणों पर ध्यान देते हैं:

1. संबंध खोजें: ऐसी सूत्र या समीकरण की पहचान करें जो दो या अधिक बदलती मात्राओं को जोड़ता है। यह आमतौर पर एक ज्यामितीय या बीजगणितीय संबंध होता है।
2. समय के संबंध में अंतर करने का काम: एक बार जब आप इस संबंध को समझ लेते हैं, तो इसे समय के संबंध में अंतर करें। यह आपको शामिल मात्राओं की विभिन्न परिवर्तन दरों को जोड़ने की अनुमति देता है।

उदाहरण 1: विस्तारित वृत्त

दृश्य उदाहरण

कल्पना करें कि एक वृत्त जिसकी त्रिज्या (r) है और वह समय के साथ बढ़ रही है। हम अक्सर इस बारे में जानने में रुचि रखते हैं कि वृत्त के क्षेत्रफल के कैसे बदलता है जब त्रिज्या बढ़ती है। हम जानते हैं कि वृत्त के क्षेत्रफल (A) और उसकी त्रिज्या (r) के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है:

A = pi r^2

मान लें कि आपको दिया गया है कि त्रिज्या (r) स्थिर दर पर 5 सेमी/सेकंड बढ़ रही है। हम यह जानना चाहते हैं कि जब त्रिज्या 10 सेमी हो तो वृत्त का क्षेत्रफल कितनी तेजी से बढ़ रहा है।

समस्या का समाधान

1. समय (t) के संबंध में संबंध को अंतरित करें। याद रखें कि (A) और (r) दोनों समय (t) के फलन हैं।

(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})

2. आपको दिया गया है कि (frac{dr}{dt} = 5) सेमी/सेकंड है और आपको (r = 10) सेमी होने पर (frac{dA}{dt}) प्राप्त करना है।

(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)

इसलिए, जब त्रिज्या 10 सेमी है, तो वृत्त का क्षेत्रफल (100pi) वर्ग सेमी प्रति सेकंड की दर से बढ़ रहा है।

उदाहरण 2: दीवार के खिलाफ सीढ़ी

पाठ उदाहरण

एक क्लासिक समस्या पर विचार करें जहाँ एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के खिलाफ स्थित है। सीढ़ी की लंबाई 15 फीट है। सीढ़ी का निचला हिस्सा दीवार से प्रति सेकंड 2 फीट की दर से दूर खींचा जा रहा है। हमें तब यह ज्ञात करना है कि सीढ़ी का ऊपरी शीर्ष दीवार से कितनी तेज़ी से फिसल रहा है, जब सीढ़ी का आधार दीवार से 9 फीट दूर है।

समस्या का समाधान

1. दीवार से आधार की दूरी (जिसे हम (x) कहते हैं), दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई (जिसे हम (y) कहते हैं), और सीढ़ी की लंबाई (जो स्थिर है और 15 फीट के बराबर है) के बीच संबंध स्थापित करें। राइट त्रिकोण के लिए पायथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:

x^2 + y^2 = 15^2

2. समय (t) के संबंध में समीकरण के दोनों पक्षों को अंतरित करें:

(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))

2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0

हम जानते हैं (x = 9), (frac{dx}{dt} = 2) फीट/सेकंड और हमें (frac{dy}{dt}) प्राप्त करना है। पहले, (x = 9) का उपयोग कर (y) के लिए हल करें:

9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{ऊँचाई सकारात्मक होने के कारण सकारात्मक मान चुनना})

अब इन मानों को अंतरित समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5

इसलिए, जब आधार दीवार से 9 फीट दूर है, तो सीढ़ी का ऊपरी हिस्सा दीवार से 1.5 फीट प्रति सेकंड की दर पर फिसल रहा है।

उदाहरण 3: शंकु से पानी निकालना

पाठ उदाहरण

कल्पना करें একটি শঙ্কুযুক্ত ট্যাঙ্ক যার উপরের মুখের ব্যাসার্ধ 5 মিটার এবং উচ্চতা 10 মিটার। ট্যাঙ্ক থেকে প্রতি মিনিটে 3 ঘন মিটার পানি বের হচ্ছে। কোনো সময়ে, পানি স্তর 6 মিটার উচ্চ। সেই সময় পানি স্তর কত দ্রুত হ্রাস হচ্ছে তা খুঁজতে হবে।

संबंध को सुधारना

प्रारंभ में, आधार त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) वाले एक शंकु का आयतन (V) निम्नलिखित के रूप में दिया गया है:

V = frac{1}{3}pi r^2 h

इस सेटअप में, (r) और (h) बदलते हैं जैसे जैसे पानी बहता है, लेकिन वे एक स्थिर अनुपात बनाए रखते हैं। यह अनुपात उसी त्रिकोणों की समानता से प्राप्त होता है जो शंकु द्वारा पानी बहाने पर बनता है:

frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}

इस शंकु की लो-मध्य वाली ऊँचाई में अनुवाद करके वायु के क्षेत्र का क्रिकेट का वायु हिस्सा करेगी:

V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^3

3. समय के संबंध में आयतन समीकरण को अंतरित करें:

frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}

हमें दिया गया है (frac{dV}{dt} = -3) घनमीटर/मिनट (नकारात्मक क्योंकि आयतन घट रहा है) और (h = 6)। इनको अंतरित समीकरण में डालें:

-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}

यह फलnत बताता है कि जब पानी की ऊँचाई 6 मीटर है, तब टैंक में पानी का स्तर लगभग (-frac{1}{3pi}) मीटर प्रति मिनट की दर से गिर रहा है।

निष्कर्ष

संबंधित दर की समस्याएं हमें यह समझने की एक शक्तिशाली तकनीक प्रदान करती हैं कि एक मात्रा की परिवर्तन दर दूसरी को कैसे प्रभावित कर सकती है। यह न केवल एक आकर्षक गणितीय अभ्यास है बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, और यहाँ तक कि जीवविज्ञान जैसे क्षेत्रों में वास्तविक जीवन की समस्याएं को हल करने का एक महत्वपूर्ण उपकरण भी हा। मात्राओं के बीच संबंध स्थापित करके और उन्हें समय के संबंध में अंतरित करके, हम अपने चारों ओर के गतिशील प्रक्रियाओं में अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं।

इन उदाहरणों में, आपने देखा है कि कैसे किसी भौतिक स्थिति को गणितीय मॉडल में बदला जा सकता है, कैसे आंकिक परिवर्तन दरों के बारे में जानकारी जुटाने के लिए कलन का उपयोग किया जा सकता है, और कैसे उन परिणामों की समस्याओं के संदर्भ में अर्थपूर्ण रूप से व्याख्या की जा सकती है। विभिन्न परिदृश्यों का अभ्यास करना आपकी समझ को बढ़ाता है, जिससे इसे बाद में आपके द्वारा पाई जाने वाली अधिक जटिल स्थितियों पर लागू करना आसान हो जाता है।

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