Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación

Las tasas relacionadas son una aplicación fascinante de la diferenciación en cálculo que nos ayuda a entender cómo diferentes cantidades cambian en relación unas con otras a lo largo del tiempo. En la vida real, muchas situaciones involucran cantidades que están relacionadas entre sí y cambian juntas. Por ejemplo, cómo cambia el volumen de aire dentro de un globo a medida que aumenta su radio o cómo la sombra de una persona en movimiento cambia su longitud a lo largo del tiempo. Los problemas de tasa relacionada nos permiten calcular cómo la tasa de cambio de una cantidad afecta a otra.

Entendiendo el concepto

Antes de sumergirnos en los ejemplos, consideremos la idea básica. En los problemas de tasa relacionada, generalmente tienes una relación matemática entre dos o más cantidades que pueden cambiar a lo largo del tiempo. Se te da la tasa a la que una de estas cantidades cambia y se te pide encontrar la tasa de cambio de la otra cantidad.

Consideremos dos pasos fundamentales al resolver problemas de tasa relacionada:

1. Encuentra la relación: Identifica una fórmula o ecuación que conecte dos o más cantidades que cambian. Esto usualmente es una relación geométrica o algebraica.
2. Diferencia con respecto al tiempo: Una vez que entiendas esta relación, diférenciala con respecto al tiempo. Esto te permite relacionar diferentes tasas de cambio de las cantidades involucradas.

Ejemplo 1: Círculo en expansión

Ejemplo visual

Imagina un círculo con un radio (r) que está aumentando con el tiempo. A menudo nos interesa cómo cambia el área de un círculo a medida que aumenta el radio. Sabemos que la relación entre el área (A) de un círculo y su radio (r) está dada por la ecuación:

A = pi r^2

Supongamos que se nos da que el radio (r) está aumentando a un ritmo constante de 5 cm/s. Queremos descubrir qué tan rápido está aumentando el área del círculo cuando el radio es de 10 cm.

Solución al problema

1. Diferenciar la relación respecto al tiempo (t). Recuerda que (A) y (r) son ambas funciones del tiempo (t).

(frac{dA}{dt} = frac{d}{dt}(pi r^2) = 2pi r frac{dr}{dt})

2. Se te da que (frac{dr}{dt} = 5) cm/s y debes encontrar (frac{dA}{dt}) cuando (r = 10) cm.

(frac{dA}{dt} = 2pi times 10 times 5 = 100pi)

Por lo tanto, cuando el radio es de 10 cm, el área del círculo está aumentando a una tasa de (100pi) cm² por segundo.

Ejemplo 2: Escalera contra una pared

Ejemplo de texto

Considera un problema clásico donde una escalera descansa contra una pared vertical. La longitud de la escalera es de 15 pies. El pie de la escalera se está retirando de la pared a una tasa de 2 pies por segundo. Se nos pide encontrar qué tan rápido la parte superior de la escalera está resbalando hacia abajo por la pared cuando la base de la escalera está a 9 pies de la pared.

Solución al problema

1. Establecer la relación entre la distancia de la base de la pared (llámalo (x)), la altura de la escalera sobre la pared (llámalo (y)), y la longitud de la escalera (que es constante e igual a 15 pies). Usa el teorema de Pitágoras para este triángulo rectángulo:

x^2 + y^2 = 15^2

2. Diferenciar ambos lados de la ecuación respecto al tiempo (t):

(frac{d}{dt}(x^2 + y^2) = frac{d}{dt}(15^2))

2xfrac{dx}{dt} + 2yfrac{dy}{dt} = 0

Sabemos (x = 9), (frac{dx}{dt} = 2) ft/s y necesitamos encontrar (frac{dy}{dt}). Primero, resuelve para (y) usando (x = 9):

9^2 + y^2 = 15^2 \ y^2 = 144 \ y = 12 quad (text{eligiendo el valor positivo ya que la altura es positiva})

Ahora sustituye estos valores en la ecuación diferenciada:

2(9)(2) + 2(12)frac{dy}{dt} = 0 \ 36 + 24frac{dy}{dt} = 0 \ 24frac{dy}{dt} = -36 \ frac{dy}{dt} = -frac{36}{24} = -1.5

Por lo tanto, la parte superior de la escalera está resbalando por la pared a una tasa de 1.5 pies por segundo, mientras que la base está a 9 pies de la pared.

Ejemplo 3: Quitando agua de un cono

Ejemplo de texto

Imagina un tanque cónico con una actitud invertida desde la cual el agua está fluyendo hacia afuera. El radio de la superficie superior del tanque es de 5 m y la altura es de 10 m. El agua está fluyendo fuera del tanque a una tasa de 3 metros cúbicos por minuto. En un cierto momento, el nivel del agua es de 6 m de altura. Debes encontrar la tasa de caída del nivel del agua en ese momento.

Preparando la relación

Inicialmente, el volumen (V) de un cono con radio de base (r) y altura (h) se da como:

V = frac{1}{3}pi r^2 h

En esta configuración, (r) y (h) cambian a medida que se drena el agua, pero mantienen una relación constante. Esta relación se deriva de la similitud de los triángulos formados por el cono a medida que se drena:

frac{r}{5} = frac{h}{10} \ r = frac{h}{2}

Substituir esto en la ecuación de volumen:

V = frac{1}{3}pileft(frac{h}{2}right)^2h = frac{1}{12}pi h^3

3. Diferenciar la ecuación de volumen con respecto al tiempo:

frac{dV}{dt} = frac{1}{12}pi times 3h^2 frac{dh}{dt} \ frac{dV}{dt} = frac{pi}{4}h^2 frac{dh}{dt}

Se nos da (frac{dV}{dt} = -3) m³/min (negativo porque el volumen está disminuyendo) y (h = 6). Sustituir esto en la ecuación diferenciada:

-3 = frac{pi}{4}(6)^2frac{dh}{dt} \ -3 = 9pi frac{dh}{dt} \ frac{dh}{dt} = -frac{3}{9pi} = -frac{1}{3pi}

Este resultado indica que cuando la altura del agua es de 6 m, el nivel del agua en el tanque está cayendo a una tasa de aproximadamente (-frac{1}{3pi}) m por minuto.

Conclusión

Los problemas de tasa relativa nos brindan una técnica poderosa para entender cómo la tasa de cambio de una cantidad puede afectar a otra. No solo es un ejercicio matemático fascinante, sino también una herramienta vital para resolver problemas de la vida real en campos como la física, la ingeniería e incluso la biología. Al establecer relaciones entre cantidades y diferenciarlas respecto al tiempo, ganamos una comprensión de los procesos dinámicos a nuestro alrededor.

En estos ejemplos, has visto cómo transformar una situación física en un modelo matemático, cómo usar el cálculo para extraer información sobre tasas de cambio y cómo interpretar esos resultados de manera significativa en el contexto del problema. Practicar con diferentes escenarios incrementa tu comprensión de este concepto, facilitando su aplicación en situaciones más complejas que puedas encontrar más adelante.

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