11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Traçando uma curva


O esboço de curvas é um método utilizado no cálculo para criar um gráfico aproximado de uma função com base em suas derivadas. Compreender as características importantes de um gráfico pode ajudar a entender o comportamento de várias funções em matemática. Essa habilidade é particularmente útil para visualizar a forma e a posição de uma função sem usar uma técnica de gráfico. O esboço de curvas envolve a análise da função por meio da diferenciação, fornecendo informações sobre seu comportamento crescente e decrescente, curvatura, concavidade e comportamento assintótico.

Conceitos básicos

A diferenciação é o processo matemático de encontrar a derivada de uma função, que expressa como a saída de uma função muda à medida que sua entrada muda. Para traçar uma curva de forma eficaz, é preciso entender as primeiras e segundas derivadas de uma função:

  1. Primeira derivada (f'(x)): Fornece informações sobre a inclinação da tangente à curva em qualquer ponto dado. Quando f'(x) > 0, a função está aumentando, e quando f'(x) < 0, ela está diminuindo.
  2. Segunda derivada (f''(x)): Esta fornece informações sobre a curvatura da função. Uma segunda derivada positiva sugere que a função é côncava para cima, enquanto uma segunda derivada negativa indica que é côncava para baixo.

Passos para o traçado de curvas

Os seguintes passos esboçam uma abordagem estruturada para traçar o gráfico de uma função:

1. Identificar o domínio

O domínio de uma função é o conjunto de todas as possíveis entradas (ou valores de x) para as quais a função é definida. Entender o domínio ajuda a evitar avaliar a função em pontos onde ela não está definida, como divisão por zero ou um valor negativo sob uma raiz quadrada para uma função real.

2. Definir os bloqueios

Encontre o intercepto em x e o intercepto em y da função. O intercepto em x é encontrado definindo f(x) = 0 e resolvendo para x. O intercepto em y é encontrado avaliando f(0).

3. Analisar a simetria (se aplicável)

Determine se a função tem alguma simetria, já que funções simétricas têm formas repetidas que tornam o gráfico mais simples. - Funções pares são simétricas em relação ao eixo y. - Funções ímpares são simétricas em relação à origem.

4. Encontrar a derivada

Calcule a primeira derivada f'(x) e a segunda derivada f''(x) para estudar o comportamento da função.

5. Determinar os pontos críticos

Pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou indefinida. Esses pontos são possíveis locais para máximos locais, mínimos ou pontos de inflexão.

6. Testar intervalos

Use os intervalos determinados pelos pontos críticos para entender onde a função está aumentando ou diminuindo.

7. Analisar a concavidade

Usando a segunda derivada, determine os intervalos onde a função é côncava para cima ou côncava para baixo. Os pontos onde a concavidade muda são os pontos de inflexão.

8. Avaliar o comportamento assintótico

Identifique qualquer assíntota horizontal ou vertical que a curva alcance à medida que x vai para infinito ou para certos valores fixos, respectivamente.

9. Desenhar curvas

Compile todas as informações que você reuniu para criar um esboço do gráfico da função e marque os interceptos, pontos críticos e assíntotas.

Exemplos de traçado de curvas

Exemplo 1: Função quadrática

Considere a função f(x) = x^2 - 4x + 3.

Processo passo a passo:

  1. Definir os bloqueios:
    • Intercepto em x: Resolva x^2 - 4x + 3 = 0 Fatorando obtemos (x - 1)(x - 3) = 0 Assim, x = 1 e x = 3.
    • Intercepto em y: f(0) = 0^2 - 4*0 + 3 = 3.
  2. Encontre a primeira derivada: 
    f'(x) = 2x - 4
  3. Encontre os pontos críticos definindo f'(x) = 0: 
    2x – 4 = 0
    Ao resolver, obtemos x = 2.
  4. Use a segunda derivada para analisar a concavidade: 
    f''(x) = 2
    Como f''(x) = 2 > 0, a função é sempre côncava para cima.
  5. Esboce a curva usando as informações que você reuniu.
(1,0) (3,0) (0,3)

Como mostrado no exemplo, a quadrática f(x) = x^2 - 4x + 3 passa por um mínimo em x = 2, que é o vértice da parábola.

Exemplo 2: Função racional

Considere a função g(x) = (x^2 - 1)/(x - 2).

Processo passo a passo:

  1. Definir os bloqueios:
    • Intercepto em x: Defina g(x) = 0 para obter x^2 - 1 = 0 Portanto, x = ±1.
    • Intercepto em y: g(0) = (0^2 - 1)/(0 - 2) = 1/2.
  2. Domínio: A função é indefinida em x = 2 (assíntota vertical).
  3. Encontre a primeira derivada usando a regra do quociente: 
    G'(x) = frac{(2x)(x - 2) - (x^2 - 1)(1)}{(x - 2)^2}
  4. Analisar o comportamento assimétrico:
    • Assíntota horizontal: Como x → ±∞, g(x) → x
  5. Esboce a curva.
(-1,0) (1,0) (x=2)

O gráfico da função racional g(x) = frac{(x^2 - 1)}{x - 2} ao completar os passos acima revela interceptos em x e y, comportamento e assíntotas.

Conclusão

O esboço de curvas é um tópico gráfico na matemática que aproveita os princípios do cálculo para interpretar funções visualmente. Seguindo um processo estruturado, é possível criar uma representação precisa do comportamento de uma função. Compreender como calcular derivadas e como usá-las para identificar características-chave, como interceptos, pontos críticos, concavidades e assíntotas, é essencial para dominar o esboço de curvas. O valor dessa habilidade é evidente tanto na teoria matemática quanto nas aplicações do mundo real, pois ajuda a dar vida às funções complexas por meio de representações visuais.


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