11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano → Introdução ao cálculo → Aplicações da diferenciação ↓


Problemas de otimização


Problemas de otimização são uma parte importante do cálculo, especialmente quando se lida com aplicações de diferenciação. Esses problemas envolvem encontrar a melhor solução, como maximizar lucros, minimizar custos ou utilizar recursos da melhor maneira possível. Em matemática, a otimização se concentra em encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função dentro de um conjunto de restrições dado.

Compreendendo a adaptação através da diferenciação

A diferenciação nos ajuda a entender como as funções mudam. Ao encontrar a derivada de uma função, podemos identificar pontos em que a função tem valores máximos ou mínimos. Esses pontos são chamados de pontos de extremum e são essenciais em problemas de otimização.

Seja f(x) uma função. A derivada de f(x) é denotada como f'(x).

Quando f'(x) = 0, isso indica possíveis pontos máximos ou mínimos, chamados de pontos críticos.

Usando derivadas para resolver problemas de otimização

O processo de resolução de problemas de otimização geralmente inclui as seguintes etapas:

  1. Identificar o problema: Defina claramente o que você está tentando otimizar. Determine se você precisa maximizar ou minimizar algo, como área, volume, lucro ou custo.
  2. Definir uma função: Escreva uma função matemática para a quantidade que você deseja otimizar. Esta função é frequentemente chamada de função objetivo.
  3. Determinar as restrições. Restrições são condições que devem ser atendidas. Podem incluir limitações de tamanho, restrições orçamentárias, etc. Você configurará equações ou desigualdades para representar essas restrições.
  4. Encontrar a derivada: Diferencie a função objetivo em relação às variáveis envolvidas.
  5. Resolver para pontos críticos: Defina a derivada igual a zero e resolva para a variável. Esta etapa ajuda a encontrar possíveis pontos máximos ou mínimos.
  6. Realizar análise de intervalo ou usar o teste da segunda derivada: Determine a natureza de cada ponto crítico usando análise de intervalo ou o teste da segunda derivada.
  7. Conclusão: Tire conclusões com base na sua análise e responda ao problema original.

Exemplo: Otimizando a área de um retângulo

Considere otimizar a área de um retângulo dado um certo perímetro. Vamos supor que o perímetro seja de 20 unidades.

Função Objetivo: Devemos maximizar a área do retângulo.

Se l é o comprimento e w é a largura do retângulo, então Perímetro, P = 2l + 2w = 20.

A partir da equação do perímetro:

w = 10 - l

Área, A = l * w.

Substitua w = 10 - l na equação da área:

A = l(10 - l) = 10l - l²

Derivada e pontos críticos: Diferencie A em relação a l.

A' = 10 - 2l

Defina a derivada igual a zero para encontrar o ponto crítico:

10 - 2l = 0 l = 5

Em l = 5, encontramos o ponto crítico. Agora, determine se é um máximo ou um mínimo considerando intervalos ou usando a segunda derivada.

Teste da Segunda Derivada: Diferencie A' para encontrar A''.

A'' = -2

Como A'' é menor que zero, a função é côncava para baixo, o que indica um máximo.

Portanto, o retângulo terá a área máxima quando l = 5, e por extensão w = 10 - 5 = 5.

Assim, um quadrado com lados de 5 unidades dá uma área máxima de 25 unidades quadradas.

Exemplo visual de um retângulo

Um exemplo de representação gráfica pode ser usado para mostrar como um retângulo se comporta:

Comprimento Largura

Exemplo: Minimização de custos

Suponha que você queira fazer uma lata cilíndrica que use a menor quantidade de material (custo) e que possa conter uma certa quantidade de mercadorias. Suponha que a lata possa conter 500 centímetros cúbicos de mercadorias.

Defina a função objetivo: O custo provavelmente depende da área de superfície da lata, incluindo o topo e o fundo circulares, bem como os lados.

Volume, V = πr²h = 500 Área de Superfície, S = 2πr² + 2πrh

Resolva a equação do volume para a altura h:

h = 500 / (πr²)

Substitua o valor de h na equação da área de superfície:

S = 2πr² + 2πr(500 / πr²) = 2πr² + 1000/r

Encontre a derivada: Diferencie S em relação a r.

S' = 4πr - 1000/r²

Para encontrar os pontos críticos, defina S' igual a zero:

4πr - 1000/r² = 0 4πr³ = 1000 r³ = 250/π r = (250/π)^(1/3)

Resolva para h usando o valor de r. Isso dará as dimensões que minimizarão a área de superfície.

Teste da segunda derivada

Para usar o teste da segunda derivada, encontre S'' :

S'' = 4π + 2000/r³

Como S'' é positivo, indica a menor área de superfície no ponto crítico.

Tire conclusões, obtendo dimensões otimizadas com o raio e altura calculados.

Considerações finais sobre problemas de otimização

Compreender a otimização é importante para resolver problemas do mundo real. A essência da otimização é encontrar a solução mais eficaz sob restrições dadas. Esteja você determinando o melhor uso de materiais ou visando a máxima eficiência, os métodos aprendidos através do cálculo podem ser aplicados para alcançar esses objetivos.

Finalmente, praticar uma variedade de problemas de otimização reforça a compreensão e proficiência na aplicação de conceitos de cálculo em cenários práticos.


11º ano → 4.3.5


U
username
0%
concluído em 11º ano

← Anterior (4.3.4)
Entendendo funções crescentes e decrescentes
Próximo (4.3.6) →
Traçando uma curva

Comentários 



Problemas de otimização

https://www.buddymath.com/g11/4.3.5?bmal=pt