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श्रेष्ठीकरण समस्याएँ
श्रेष्ठीकरण समस्याएँ कैल्कुलस का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, विशेष रूप से जब विविक्तिकरण के अनुप्रयोगों से निपटते हैं। इन समस्याओं में सर्वोत्तम समाधान खोजना शामिल होता है, जैसे लाभ को अधिकतम करना, लागत को न्यूनतम करना, या संसाधनों का सर्वोत्तम संभव तरीके से उपयोग करना। गणित में, श्रेष्ठीकरण आंकिक तक सीमाओं के एक विशेष सेट के भीतर किसी फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान खोजना पर ध्यान केंद्रित करता है।
विविक्तिकरण के माध्यम से अनुकूलन को समझना
विविक्तिकरण हमें समझाता है कि फ़ंक्शन्स कैसे बदलते हैं। एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजकर, हम बिंदु पहचान सकते हैं जहाँ फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम मान होते हैं। इन बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है और यह श्रेष्ठीकरण समस्याओं में महत्वपूर्ण होते हैं।
मान लें f(x) एक फ़ंक्शन हो। f(x) का व्युत्पन्न f'(x) के रूप में अंकित होता है।जब f'(x) = 0 होता है, तो यह संभावित अधिकतम या न्यूनतम बिंदु संकेतित करता है, जिन्हे महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।
श्रेष्ठीकरण समस्याओं को हल करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना
श्रेष्ठीकरण समस्याओं को हल करने की प्रक्रिया आमतौर पर निम्नलिखित चरणों में शामिल होती है:
- समस्या की पहचान करें: स्पष्ट रूप से यह परिभाषित करें कि आप किसे अनुकूलित करने की कोशिश कर रहे हैं। निर्धारित करें कि आपको कुछ अधिकतम या न्यूनतम चाहिए, जैसे क्षेत्र, आयतन, लाभ या लागत।
- फ़ंक्शन सेट अप करें: उस मात्रा के लिए एक गणितीय फ़ंक्शन लिखें जिसे आप अनुकूलित करना चाहते हैं। इस फ़ंक्शन को अक्सर उद्देश्य फ़ंक्शन कहा जाता है।
- सीमाओं का निर्धारण करें: सीमाएं ऐसी शर्तें होती हैं जिन्हें पूरा करना आवश्यक होता है। ये आकार संबंधी सीमाएं, बजट सीमाएं आदि हो सकती हैं। आप इन सीमाओं को दर्शाने के लिए समीकरण या असमानताएं सेट करेंगे।
- व्युत्पन्न खोजें: शामिल वेरिएबल के संबंध में उद्देश्य फ़ंक्शन को विवक्त करें।
- महत्वपूर्ण बिंदुओं के लिए हल करें: व्युत्पन्न को शून्य मानकर वेरिएबल के लिए हल करें। यह चरण संभावित अधिकतम या न्यूनतम बिंदुओं को खोजने में मदद करता है।
- अंतराल विश्लेषण करें या दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण का उपयोग करें: प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए अंतराल विश्लेषण करें या दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण का उपयोग करें।
- निष्कर्ष: अपने विश्लेषण के आधार पर निष्कर्ष निकालें और मूल समस्या का उत्तर दें।
उदाहरण: एक आयत के क्षेत्र का अनुकूलन
ध्यान दें कि एक दिए गए परिधि के साथ एक आयत के क्षेत्र को अनुकूलित करना। मान लें कि परिधि 20 इकाई है।
उद्देश्य फ़ंक्शन: हमें आयत के क्षेत्र को अधिकतम करना है।
यदि l आयत की लंबाई है और w चौड़ाई है, तो परिधि, P = 2l + 2w = 20।परिधि समीकरण से:
w = 10 - lक्षेत्र, A = l * w।
क्षेत्र समीकरण में w = 10 - l को प्रतिस्थापित करें:
A = l(10 - l) = 10l - l²व्युत्पन्न और महत्वपूर्ण बिंदु: A को l के संबंध में विवक्त करें।
A' = 10 - 2lमहत्वपूर्ण बिंदु को खोजने के लिए व्युत्पन्न को शून्य मानकर हल करें:
10 - 2l = 0 l = 5l = 5 पर, हम महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं। अब, अन्तराल पर विचार करके या दूसरा व्युत्पन्न लेकर यह निर्धारित करें कि यह एक अधिकतम या न्यूनतम बिंदु है।
दूसरा व्युत्पन्न परीक्षा: A' का विवक्त कर A'' खोजें।
A'' = -2क्योंकि A'' शून्य से कम है, यह दर्शाता है कि फंक्शन निम्नगामी है, जो अधिकतम को सूचित करता है।
इसलिए, आयत के पास अधिकतम क्षेत्र होगा जब l = 5 होगा, और विस्तार से w = 10 - 5 = 5 होगा।
इसलिए, 5 यूनिट साइड्स वाले एक वर्ग 25 वर्ग यूनिट का अधिकतम क्षेत्र प्रदान करता है।
एक आयत का दृश्य उदाहरण
एक ग्राफिक्स प्रजेंटेशन उदाहरण आयत के व्यवहार को दिखाने के लिए उपयोग किया जा सकता है:
उदाहरण: लागतों को न्यूनतम करना
मान लें कि आप एक बेलनाकार कैन बनाना चाहते हैं जो न्यूनतम सामग्री (लागत) का उपयोग करता है और एक निश्चित मात्रा को धारण कर सकता है। मान लें कि कैन 500 घन सेंटीमीटर सामग्री धारण कर सकता है।
लक्ष्य कार्य को परिभाषित करें: लागत शायद कैन के सतह क्षेत्र पर निर्भर करती है, जिसमें गोल शीर्ष और नीचे शामिल हैं तथा पक्ष भी।
आयतन, V = πr²h = 500 सतह क्षेत्र, S = 2πr² + 2πrhऊँचाई h के लिए आयतन समीकरण को हल करें:
h = 500 / (πr²)सतह क्षेत्र समीकरण में h के मान को प्रतिस्थापित करें:
S = 2πr² + 2πr(500 / πr²) = 2πr² + 1000/rव्युत्पन्न खोजें: S को r के संबंध में विवक्त करें।
S' = 4πr - 1000/r²महत्वपूर्ण बिंदु खोजने के लिए, S' को शून्य पर सेट करें:
4πr - 1000/r² = 0 4πr³ = 1000 r³ = 250/π r = (250/π)^(1/3)r के मान का उपयोग करके h के लिए हल करें। यह सतह क्षेत्र को न्यूनतम करने वाले आयाम प्रदान करेगा।
दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण
दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण करने के लिए, S'' खोजें:
S'' = 4π + 2000/r³क्योंकि S'' सकारात्मक है, यह महत्वपूर्ण बिंदु पर न्यूनतम सतह क्षेत्र का संकेत देता है।
अभिकलित त्रिज्या और ऊँचाई के साथ इष्टतम आयाम प्राप्त करते हुए निष्कर्ष निकालें।
श्रेष्ठीकरण समस्याओं पर अंतिम विचार
अनुकूलन को समझना वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। अनुकूलन का सार यह है कि दी गई सीमाओं के तहत सबसे प्रभावी समाधान खोजना। चाहे आप सामग्रियों का सर्वोत्तम उपयोग कर रहे हों या अधिकतम दक्षता हासिल करना चाहते हों, कैल्कुलस के माध्यम से सीखे गए तरीकों का इन लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है।
अंत में, विभिन्न प्रकार की श्रेष्ठीकरण समस्याओं का अभ्यास करना समझ को मजबूत करता है और व्यावहारिक परिदृश्यों में कैल्कुलस के सिद्धांतों को लागू करने की क्षमताओं को बढ़ाता है।
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