Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Problemas de optimización


Los problemas de optimización son una parte importante del cálculo, especialmente cuando se trata de aplicaciones de derivación. Estos problemas implican encontrar la mejor solución, como maximizar beneficios, minimizar costos o utilizar recursos de la mejor manera posible. En matemáticas, la optimización se centra en encontrar el valor máximo o mínimo de una función dentro de un conjunto dado de restricciones.

Comprensión de la adaptación a través de la derivación

La derivación nos ayuda a entender cómo cambian las funciones. Al encontrar la derivada de una función, podemos identificar puntos donde la función tiene valores máximos o mínimos. Estos puntos se llaman puntos de extremo y son esenciales en los problemas de optimización.

Sea f(x) una función. La derivada de f(x) se denota como f'(x).

Cuando f'(x) = 0, esto indica posibles puntos máximos o mínimos, llamados puntos críticos.

Uso de derivadas para resolver problemas de optimización

El proceso de resolver problemas de optimización generalmente incluye los siguientes pasos:

  1. Identificar el problema: Defina claramente lo que está tratando de optimizar. Determine si necesita maximizar o minimizar algo, como área, volumen, beneficio o costo.
  2. Establecer una función: Escriba una función matemática para la cantidad que desea optimizar. Esta función a menudo se llama función objetivo.
  3. Determinar las restricciones. Las restricciones son condiciones que deben cumplirse. Podrían ser limitaciones de tamaño, restricciones presupuestarias, etc. Establecerá ecuaciones o desigualdades para representar estas restricciones.
  4. Encontrar la derivada: Diferencie la función objetivo con respecto a las variables involucradas.
  5. Resolver para puntos críticos: Igualar la derivada a cero y resolver para la variable. Este paso ayuda a encontrar puntos máximos o mínimos potenciales.
  6. Realizar análisis de intervalos o utilizar la prueba de la segunda derivada: Determine la naturaleza de cada punto crítico utilizando análisis de intervalos o la prueba de la segunda derivada.
  7. Conclusión: Saque conclusiones basadas en su análisis y responda el problema original.

Ejemplo: Optimización del área de un rectángulo

Considere optimizar el área de un rectángulo dado un cierto perímetro. Digamos que el perímetro es de 20 unidades.

Función Objetivo: Tenemos que maximizar el área del rectángulo.

Si l es la longitud y w es el ancho del rectángulo, entonces el Perímetro, P = 2l + 2w = 20.

De la ecuación de la circunferencia:

w = 10 - l

Área, A = l * w.

Sustituya w = 10 - l en la ecuación de área:

A = l(10 - l) = 10l - l²

Derivada y puntos críticos: Diferenciar A con respecto a l.

A' = 10 - 2l

Establezca la derivada a cero para encontrar el punto crítico:

10 - 2l = 0 l = 5

En l = 5, encontramos el punto crítico. Ahora, determine si es un máximo o mínimo considerando intervalos o usando la segunda derivada.

Prueba de la Segunda Derivada: Diferencie A' para encontrar A''.

A'' = -2

Dado que A'' es menor que cero, la función es cóncava hacia abajo, lo que indica un máximo.

Por lo tanto, el rectángulo tendrá un área máxima cuando l = 5, y por extensión w = 10 - 5 = 5.

Por lo tanto, un cuadrado con lados de 5 unidades da un área máxima de 25 unidades cuadradas.

Ejemplo visual de un rectángulo

Se puede utilizar un ejemplo de representación gráfica para mostrar cómo se comporta un rectángulo:

Longitud Ancho

Ejemplo: Minimización de costos

Supongamos que desea hacer una lata cilíndrica que use la menor cantidad de material (costo) y pueda contener una cierta cantidad de bienes. Supongamos que la lata puede contener 500 centímetros cúbicos de bienes.

Definir la función objetivo: El costo probablemente depende del área de superficie de la lata, incluyendo la parte superior e inferior circular así como los lados.

Volumen, V = πr²h = 500 Área de Superficie, S = 2πr² + 2πrh

Resuelva la ecuación de volumen para la altura h:

h = 500 / (πr²)

Sustituya el valor de h en la ecuación de área de superficie:

S = 2πr² + 2πr(500 / πr²) = 2πr² + 1000/r

Encontrar la derivada: Diferenciar S con respecto a r.

S' = 4πr - 1000/r²

Para encontrar los puntos críticos, establezca S' a cero:

4πr - 1000/r² = 0 4πr³ = 1000 r³ = 250/π r = (250/π)^(1/3)

Resuelva para h usando el valor de r. Esto dará las dimensiones que minimizarán el área de superficie.

Prueba de la segunda derivada

Para usar la prueba de la segunda derivada, encuentre S'' :

S'' = 4π + 2000/r³

Ya que S'' es positivo, indica el área de superficie mínima en el punto crítico.

Haga conclusiones, obteniendo dimensiones óptimas con el radio y altura calculados.

Reflexiones finales sobre los problemas de optimización

Entender la optimización es importante para resolver problemas del mundo real. La esencia de la optimización es encontrar la solución más efectiva bajo restricciones dadas. Ya sea que esté determinando el mejor uso de materiales o buscando la máxima eficiencia, los métodos aprendidos a través del cálculo pueden aplicarse para lograr estos objetivos.

Finalmente, la práctica de una variedad de problemas de optimización fortalece la comprensión y destreza en la aplicación de conceptos de cálculo a escenarios prácticos.


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