11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano → Introdução ao cálculo → Aplicações da diferenciação ↓


Entendendo funções crescentes e decrescentes


Em cálculo, uma das principais coisas que estudamos é como as funções mudam à medida que você se move ao longo do eixo x. Saber se uma função está aumentando ou diminuindo pode nos ajudar a entender o comportamento de uma função e fazer previsões sobre ela. Neste artigo, exploraremos funções crescentes e decrescentes usando linguagem simples, exemplos e diagramas.

Definições básicas

Uma função crescente é uma função onde, à medida que você se move da esquerda para a direita ao longo do eixo x, os valores de y (ou saídas) aumentam. Em termos simples, se você imaginar se movendo da esquerda para a direita ao longo do gráfico, você estará se movendo para cima se a função estiver aumentando.

Uma função decrescente é uma função em que os valores de y diminuem à medida que você se move da esquerda para a direita ao longo do eixo x. Em outras palavras, você estará se movendo para baixo à medida que avança da esquerda para a direita ao longo do gráfico.

Definição matemática

Vamos considerar uma função f(x) em um intervalo I (digamos [a, b]). A função f(x) é:

  • É estritamente crescente se x_1 < x_2 para qualquer x_1, x_2 em I, temos f(x_1) < f(x_2).
  • É estritamente decrescente se x_1 < x_2 para qualquer x_1, x_2 em I, temos f(x_1) > f(x_2)

Isso significa que para uma função estritamente crescente, à medida que x aumenta, f(x) aumenta. Inversamente, para uma função estritamente decrescente, à medida que x aumenta, f(x) diminui.

O papel das derivadas

A derivada é uma ferramenta poderosa no cálculo que determina se uma função está crescendo ou diminuindo. A derivada de uma função nos diz a taxa na qual o valor da função está mudando.

- Se a derivada f'(x) > 0 em um intervalo, então a função está aumentando nesse intervalo.

- Se a derivada f'(x) < 0 em um intervalo, então a função está diminuindo nesse intervalo.

- Se f'(x) = 0, então o valor da função nesse pequeno intervalo pode ser constante, ou pode ser um ponto de inflexão. Mais investigação é necessária para determinar isso com precisão.

Visualização com gráficos

Vamos ver esse conceito com um gráfico. Considere uma função quadrática simples f(x) = x^2.

f'(x) = 2x

- Para x > 0, f'(x) = 2x > 0, então a função está aumentando nesta região.

- Para x < 0, f'(x) = 2x < 0, então a função está diminuindo nesta região.

O gráfico de f(x) = x^2:

Crescente Reduzir

Exemplo com função cúbica

Vamos ver outro exemplo, uma função cúbica: f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.

f'(x) = 3x^2 - 6x

Definimos a derivada igual a zero para encontrar o ponto crítico.

0 = 3x^2 - 6x 0 = 3x(x - 2)

Isso nos dá duas soluções para x: x = 0 e x = 2. Usaremos esses pontos para determinar intervalos onde a função aumenta ou diminui.

- A derivada é positiva no intervalo x < 0, assim a função está crescendo.

- A derivada no intervalo 0 < x < 2 é negativa, o que significa que a função está diminuindo.

- A derivada no intervalo x > 2 é novamente positiva, então a função está aumentando.

O gráfico de f(x) = x^3 - 3x^2 + 4:

Crescente Reduzir

Exemplos do mundo real

Economia: Oferta e demanda

Em economia, o conceito de funções crescentes e decrescentes é frequentemente usado no contexto de oferta e demanda. Geralmente, à medida que o preço de uma mercadoria aumenta, a oferta dessa mercadoria também aumenta (função crescente). Inversamente, à medida que o preço aumenta, a demanda geralmente diminui (função decrescente). Esses relacionamentos podem ser analisados para encontrar estratégias de precificação ótimas usando derivadas.

Por exemplo, considere a função de demanda D(p) = 500 - 20p, onde p é o preço de um produto.

D'(p) = -20

Como D'(p) < 0, a função de demanda está diminuindo; preços mais altos levam a menor demanda.

Física: Objetos subindo ou descendo

Considere uma bola lançada para cima cuja função de velocidade v(t) = 20 - 9.8t, onde t é o tempo em segundos. Aqui, v é a velocidade, que é uma função do tempo.

v'(t) = -9.8

A derivada v'(t) < 0 mostra que a velocidade está diminuindo com o tempo, o que significa que a bola está desacelerando à medida que sobe.

Conclusão

Entender se as funções estão crescendo ou diminuindo é um aspecto importante do cálculo, fornecendo informações sobre o comportamento de uma função. Ao examinar a derivada de uma função, podemos prever onde a função está subindo ou descendo e entender fenômenos do mundo real, como tendências econômicas ou o movimento de objetos. Com esse conhecimento, podemos resolver problemas práticos e tomar decisões informadas com base nas taxas de mudança de uma função.

No cálculo, especialmente para estudantes neste nível, a ênfase é frequentemente em como as funções mudam e como aplicar esse entendimento a vários campos, como física, economia e outros. Dominar esses conceitos estabelece a base para o estudo avançado em matemática e suas aplicações.


11º ano → 4.3.4


U
username
0%
concluído em 11º ano

← Anterior (4.3.3)
Máximos e mínimos
Próximo (4.3.5) →
Problemas de otimização

Comentários 



Entendendo funções crescentes e decrescentes

https://www.buddymath.com/g11/4.3.4?bmal=pt