Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprensión de funciones crecientes y decrecientes


En cálculo, una de las principales cosas que estudiamos es cómo cambian las funciones a medida que te desplazas por el eje x. Saber si una función está aumentando o disminuyendo puede ayudarnos a comprender el comportamiento de una función y hacer predicciones sobre ella. En este artículo, exploraremos funciones crecientes y decrecientes utilizando un lenguaje sencillo, ejemplos y diagramas.

Definiciones básicas

Una función creciente es una función donde, a medida que te mueves de izquierda a derecha a lo largo del eje x, los valores de y (o salidas) aumentan. En términos simples, si imaginas moverte de izquierda a derecha a lo largo del gráfico, te estarás moviendo hacia arriba si la función está aumentando.

Una función decreciente es una función donde los valores de y disminuyen a medida que te mueves de izquierda a derecha a lo largo del eje x. En otras palabras, te estarás moviendo hacia abajo a medida que te mueves de izquierda a derecha a lo largo del gráfico.

Definición matemática

Consideremos una función f(x) en un intervalo I (digamos [a, b]). La función f(x) es:

  • Es estrictamente creciente si x_1 < x_2 para cualquier x_1, x_2 en I, tenemos f(x_1) < f(x_2).
  • Es estrictamente decreciente si x_1 < x_2 para cualquier x_1, x_2 en I, tenemos f(x_1) > f(x_2)

Esto significa que para una función estrictamente creciente, a medida que x aumenta, f(x) aumenta. Por otro lado, para una función estrictamente decreciente, a medida que x aumenta, f(x) disminuye.

El papel de las derivadas

La derivada es una herramienta poderosa en cálculo que determina si una función está aumentando o disminuyendo. La derivada de una función nos dice la tasa a la que el valor de la función está cambiando.

- Si la derivada f'(x) > 0 en un intervalo, entonces la función está aumentando en ese intervalo.

- Si la derivada f'(x) < 0 en un intervalo, entonces la función está disminuyendo en ese intervalo.

- Si f'(x) = 0, entonces el valor de la función en ese pequeño intervalo puede ser constante, o puede ser un punto de inflexión. Se necesita más investigación para determinar esto con precisión.

Visualización con gráficos

Miremos este concepto con un gráfico. Consideremos una función cuadrática simple f(x) = x^2.

f'(x) = 2x

- Para x > 0, f'(x) = 2x > 0, por lo tanto, la función está aumentando en esta región.

Para - x < 0, f'(x) = 2x < 0, por lo tanto, la función está disminuyendo en esta región.

El gráfico de f(x) = x^2:

Increasing Reduce

Ejemplo con función cúbica

Miremos otro ejemplo, una función cúbica: f(x) = x^3 - 3x^2 + 4.

f'(x) = 3x^2 - 6x

Igualamos la derivada a cero para encontrar el punto crítico.

0 = 3x^2 - 6x 0 = 3x(x - 2)

Esto nos da dos soluciones para x: x = 0 y x = 2. Usaremos estos puntos para determinar intervalos donde la función aumenta o disminuye.

- La derivada es positiva en el intervalo x < 0, por lo tanto, la función está aumentando.

- La derivada en el intervalo 0 < x < 2 es negativa, lo que significa que la función está disminuyendo.

- La derivada en el intervalo x > 2 es nuevamente positiva, por lo que la función está aumentando.

El gráfico de f(x) = x^3 - 3x^2 + 4:

Increasing Reduce

Ejemplos del mundo real

Economía: Oferta y demanda

En economía, el concepto de funciones crecientes y decrecientes se utiliza a menudo en el contexto de la oferta y la demanda. En general, a medida que aumenta el precio de una mercancía, también aumenta la oferta de esa mercancía (función creciente). Por el contrario, a medida que el precio aumenta, la demanda suele disminuir (función decreciente). Estas relaciones pueden analizarse para encontrar estrategias de precios óptimas utilizando derivadas.

Por ejemplo, considere la función de demanda D(p) = 500 - 20p, donde p es el precio de un producto.

D'(p) = -20

Como D'(p) < 0, la función de demanda está disminuyendo; precios más altos conducen a una menor demanda.

Física: Objetos que suben o bajan

Consideremos una pelota arrojada hacia arriba cuya función de velocidad es v(t) = 20 - 9.8t, donde t es el tiempo en segundos. Aquí, v es la velocidad, que es una función del tiempo.

v'(t) = -9.8

La derivada v'(t) < 0 muestra que la velocidad está disminuyendo con el tiempo, lo que significa que la pelota está disminuyendo su velocidad a medida que sube.

Conclusión

Comprender si las funciones están aumentando o disminuyendo es un aspecto importante del cálculo, proporcionando información sobre el comportamiento de una función. Al examinar la derivada de una función, podemos predecir dónde la función está subiendo o bajando y comprender fenómenos del mundo real como las tendencias económicas o el movimiento de objetos. Con este conocimiento, podemos resolver problemas prácticos y tomar decisiones informadas basadas en las tasas de cambio de una función.

En cálculo, especialmente para estudiantes a este nivel, el énfasis a menudo está en cómo cambian las funciones y cómo aplicar esta comprensión a diversos campos como la física, la economía y otros. Dominar estos conceptos sienta las bases para estudios avanzados en matemáticas y sus aplicaciones.


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Comprensión de funciones crecientes y decrecientes

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