切线与法线

在微积分中，微分是帮助我们理解变化的一项核心概念。微分的众多应用之一是研究曲线的切线与法线。这些概念在理解曲线和曲面的几何形状中起着至关重要的作用。本文深入讨论切线与法线的概念，重点介绍它们的定义、计算及应用，并通过大量实例清晰地说明这些思想。

理解切线

在我们进入数学知识之前，先来了解什么是切线。如果在图上有一条曲线，某一点的切线是经过该点的直线，它“接触”曲线而不是与之相交，而是与其相切。

在数学上，曲线在某一点的切线是与曲线在该点相切的直线。它表示曲线在该点的斜率或方向。

切线的斜率

曲线在某一点切线的斜率实质上是曲线方程在该点处导数的值。若存在函数 y = f(x)，则曲线在点 (x_0, y_0) 处的切线斜率由导数给出：

m = f'(x_0)

其中 f'(x_0) 是 f(x) 在 x = x_0 处的导数。一旦找到了斜率，便可使用直线方程的点斜式来确定切线方程：

y - y_0 = m(x - x_0)

这使得在具有函数导数的情况下可以计算任意点的切线方程。

示例：求切线

考虑 y = x^2 并求出在点 (1, 1) 的切线。

首先，求出函数的导数：

y = x^2

y' = 2x

然后，在 x = 1 处计算导数：

y' = 2(1) = 2

因此，切线的斜率为 2 使用点斜式求出切线方程：

y - 1 = 2(x - 1)

求解上述方程得：

y - 1 = 2x - 2

y = 2x - 1

因此，在点 (1, 1) 的切线方程为 y = 2x - 1。

蓝色线表示曲线 y = x^2，黑色直线是点 (1, 1) 上的切线。

理解法线

切线是与曲线在某一点相切的直线，而法线则是与该点的切线垂直的直线。因此，法线与切线在曲线上同一点相交，但法线在斜率方面在相反的方向上延伸。

如果你知道切线方程并且知道其斜率，那么法线的斜率就是切线斜率的负倒数。如果切线的斜率为 m，则法线的斜率为：

m_normal = -1/m

一旦知道法线的斜率，就可以使用直线方程的点斜式来求出法线方程。

示例：求法线

继续上一个切线示例，曲线 y = x^2 在 (1, 1) 处：

我们发现切线斜率为 2，因此，法线的斜率为 2 的负倒数，即 -1/2。

使用点斜式，法线方程为：

y - 1 = -1/2(x - 1)

简化上述方程：

y - 1 = -1/2x + 1/2

y = -1/2x + 3/2

在点 (1,1) 的法线方程是 y = -1/2x + 3/2。

图中的绿色线表示在点 (1,1) 上与切线垂直的法线。