理解微积分中的商法则

商法则是一种用于微积分的方法，用于求一个函数的导数，该函数是两个其他函数的商（或除法）。当处理形式为f(x) = g(x) / h(x)的函数时，该法则是必要的，其中g(x)和h(x)都是函数。挑战在于这些函数自身的行为可能大不相同，使得计算它们的导数变得更加复杂。

什么是商法则？

从数学上讲，商法则指出，如果你有一个由f(x) = g(x) / h(x)给出的函数，那么导数f'(x)为：

(f(x))' = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x)^2)

简单来说，要找到商的导数：

• 对分子求导以得到g'(x)。
• 将该导数乘以分母h(x)。
• 对分母求导以得到h'(x)。
• 将该导数乘以分子g(x)。
• 从第一个乘积中减去第二个乘积。
• 最后，将其除以分母h(x)^2的平方。

分解商法则

让我们分析商法则的组成部分：

• g'(x) * h(x)：这是分子的导数和原始分母。
• g(x) * h'(x)：这是原始分子的值乘以分母的导数。
• h(x)^2：这是原始分母的平方。

简而言之，该法则确保我们考虑到这两个函数如何变化，这影响了商的整体变化率。

可视化示例1：应用商法则

考虑一个函数f(x) = x^2 / (3x + 2)，要找出导数f'(x)：

1. 分子x^2的导数是2x。
2. 分母3x + 2的导数是3。
3. 应用商法则：

(f(x))' = ((2x) * (3x + 2) - (x^2) * 3) / (3x + 2)^2
    

通过简化此表达式，我们得到一个新函数，显示原始商如何变化。

课程示例2：应用商法则

让我们看一个包含步骤的文字示例：

函数：f(x) = (5x - 4) / (x + 1)

我们需要找到f'(x)的导数：

1. 识别g(x) = 5x - 4和h(x) = x + 1。
2. 对g(x)求导得到g'(x) = 5。
3. 对h(x)求导得到h'(x) = 1。
4. 应用商法则：

(f(x))' = ((5) * (x + 1) - (5x - 4) * 1) / (x + 1)^2
    

5. 简化表达式以找到f'(x)：

(f(x))' = (5x + 5 - 5x + 4) / (x + 1)^2
(f(x))' = (9) / (x + 1)^2
    

可视化示例2：应用商法则

考虑一个函数f(x) = sin(x) / x，要找出导数f'(x)：

1. 分子sin(x)的导数是cos(x)。
2. 每个x的导数是1。
3. 应用商法则：

(f(x))' = ((cos(x) * x) - (sin(x) * 1)) / x^2
    

所得表达式表示原始函数的变化率。

练习题

练习是掌握商法则的关键。试着自己做这些问题：

1. 求导数：f(x) = (3x^3 - x) / (2x^2 + 1)
2. 求f'(x)：f(x) = (7x + 5) / (4x^3 - x)
3. 计算导数：f(x) = e^x / ln(x)

结论

商法则是微分中的一项强大工具，使你能够处理由除法创建的复杂函数。理解和应用该法则需要仔细注意操作顺序以及分子和分母之间的关系。通过练习，它成为处理涉及商的微积分问题的自动组成部分。

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