11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Compreendendo a regra do quociente no cálculo


A regra do quociente é um método usado no cálculo para encontrar a derivada de uma função que é o quociente (ou divisão) de duas outras funções. Essa regra é necessária ao lidar com funções da forma f(x) = g(x) / h(x), onde g(x) e h(x) são ambas funções. O desafio é que essas funções podem se comportar de maneira bastante diferente por conta própria, tornando o cálculo de suas derivadas um pouco mais complicado.

O que é a regra do quociente?

Matematicamente, a regra do quociente afirma que se você tem uma função dada por f(x) = g(x) / h(x), então a derivada f'(x) é dada por:

(f(x))' = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x)^2)

Em termos simples, para encontrar a derivada de um quociente:

  • Diferencie o numerador para obter g'(x).
  • Multiplique essa derivada pelo denominador h(x).
  • Diferencie o denominador para obter h'(x).
  • Multiplique essa derivada pelo numerador g(x).
  • Subtraia o segundo produto do primeiro produto.
  • Finalmente, divida pelo quadrado do denominador h(x)^2.

Desmembrando a regra do quociente

Analisemos os componentes da Regra do Quociente:

  • g'(x) * h(x): Esta é a derivada do numerador e o denominador original.
  • g(x) * h'(x): Este é o valor do numerador original multiplicado pela derivada do denominador.
  • h(x)^2: Esta é a quadrado do denominador original.

Em suma, a regra garante que levemos em conta como ambas as funções mudam, o que afeta a taxa de variação do quociente como um todo.

Exemplo visual 1: Aplicando a regra do quociente

f(x) = x^2 / (3x + 2) (f(x))' = ((2x) * (3x + 2) - (x^2) * 3) / (3x + 2)^2

Considere uma função f(x) = x^2 / (3x + 2) Para encontrar a derivada f'(x):

  1. A derivada do numerador x^2 é 2x.
  2. A derivada do denominador 3x + 2 é 3.
  3. Aplique a regra do quociente:
    4. (f(x))' = ((2x) * (3x + 2) - (x^2) * 3) / (3x + 2)^2

Ao simplificar esta expressão, obtemos uma nova função que mostra como o quociente original muda.

Exemplo de aula 2: Aplicando a regra do quociente

Vamos ver um exemplo textual incluindo etapas:

Função: f(x) = (5x - 4) / (x + 1)

Precisamos encontrar a derivada de f'(x):

  1. Identifique g(x) = 5x - 4 e h(x) = x + 1.
  2. Diferencie g(x) para obter g'(x) = 5.
  3. Diferencie h(x) para obter h'(x) = 1.
  4. Aplique a regra do quociente:
    5. (f(x))' = ((5) * (x + 1) - (5x - 4) * 1) / (x + 1)^2
  5. Simplifique a expressão para encontrar f'(x):
    6. (f(x))' = (5x + 5 - 5x + 4) / (x + 1)^2
(f(x))' = (9) / (x + 1)^2

Exemplo visual 2: Aplicando a regra do quociente

f(x) = sin(x) / x (f(x))' = ((cos(x) * x) - (sin(x) * 1)) / x^2

Considere uma função f(x) = sin(x) / x Para encontrar a derivada f'(x):

  1. A derivada do numerador sin(x) é cos(x).
  2. A derivada de cada x é 1.
  3. Aplicando a regra do quociente:
    4. (f(x))' = ((cos(x) * x) - (sin(x) * 1)) / x^2

A expressão resultante representa a taxa de variação da função original.

Problemas práticos

A prática é a chave para dominar a regra do quociente. Tente resolver estes problemas você mesmo:

  1. Diferencie: f(x) = (3x^3 - x) / (2x^2 + 1)
  2. Encontre f'(x): f(x) = (7x + 5) / (4x^3 - x)
  3. Calcule a derivada: f(x) = e^x / ln(x)

Conclusão

A regra do quociente é uma ferramenta poderosa na diferenciação, permitindo lidar com funções complexas criadas por divisão. Compreender e aplicar essa regra exige atenção cuidadosa à ordem das operações e à relação entre o numerador e o denominador. Com prática, ela se torna uma parte automática da resolução de problemas de cálculo envolvendo quocientes.


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