微分法における商の法則の理解

商の法則は、2つの関数の商（または分割）である関数の導関数を求めるために微分法で使用される方法です。この法則は、f(x) = g(x) / h(x)という形式の関数を扱う際に必要であり、g(x)とh(x)の両方が関数である場合に適用されます。これらの関数はそれぞれ非常に異なる動作をする可能性があり、その導関数を計算することは少し複雑です。

商の法則とは？

数学的には、商の法則は以下のように述べられます: f(x) = g(x) / h(x)という関数がある場合、導関数f'(x)は次のように与えられます:

(f(x))' = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x)^2)

簡単に言うと、商の導関数を求めるには:

• 分子を微分してg'(x)を得る。
• この導関数を分母h(x)で掛ける。
• 分母を微分してh'(x)を得る。
• この導関数を分子g(x)で掛ける。
• 2つ目の積を最初の積から引く。
• 最後に、分母の二乗h(x)^2でそれを割る。

商の法則を分解する

商の法則の成分を分析しましょう:

• g'(x) * h(x): これは分子の導関数と元の分母です。
• g(x) * h'(x): これは元の分子を分母の導関数で掛けた値です。
• h(x)^2: これは元の分母の二乗です。

簡単に言えば、この法則は両方の関数の変化を考慮に入れ、その結果として商の全体的な変化率に影響を与えます。

視覚例1: 商の法則を適用する

関数f(x) = x^2 / (3x + 2)を考えましょう。導関数f'(x)を求めるために:

1. 分子x^2の導関数は2xです。
2. 分母3x + 2の導関数は3です。
3. 商の法則を適用する:

(f(x))' = ((2x) * (3x + 2) - (x^2) * 3) / (3x + 2)^2
    

この式を簡約化することにより、元の商がどのように変化するかを示す新しい関数を得ます。

レッスン例2: 商の法則を適用する

ステップを含むテキストの例を見てみましょう:

関数: f(x) = (5x - 4) / (x + 1)

導関数f'(x)を求める必要があります:

1. g(x) = 5x - 4とh(x) = x + 1を特定する。
2. g(x)を微分してg'(x) = 5を得る。
3. h(x)を微分してh'(x) = 1を得る。
4. 商の法則を適用する:

(f(x))' = ((5) * (x + 1) - (5x - 4) * 1) / (x + 1)^2
    

5. 式を簡約化してf'(x)を求める:

(f(x))' = (5x + 5 - 5x + 4) / (x + 1)^2
(f(x))' = (9) / (x + 1)^2
    

視覚例2: 商の法則を適用する

関数f(x) = sin(x) / xを考えましょう。導関数f'(x)を求めるために:

1. 分子sin(x)の導関数はcos(x)です。
2. 任意のxの導関数は1です。
3. 商の法則を適用する:

(f(x))' = ((cos(x) * x) - (sin(x) * 1)) / x^2
    

この結果の式は、元の関数の変化率を表します。

練習問題

商の法則を習得するために、練習は重要です。これらの問題を自分で試してみましょう:

1. 微分する: f(x) = (3x^3 - x) / (2x^2 + 1)
2. f'(x)を見つける: f(x) = (7x + 5) / (4x^3 - x)
3. 導関数を計算する: f(x) = e^x / ln(x)

結論

商の法則は微分法における強力なツールであり、分割によって作成された複雑な関数を処理することができます。この法則を理解し適用するには、演算の順序と分子と分母の関係に細心の注意を払う必要があります。練習すれば、商を含む微分の問題を解決するための自動的な一部になります。

コメント