कलन में भाजक नियम को समझना

भाजक नियम एक विधि है जिसका उपयोग कलन में दो अन्य गणनाओं के भाजक (या विभाजन) वाले कार्य के अवकलज को खोजने के लिए किया जाता है। यह नियम तब आवश्यक होता है जब f(x) = g(x) / h(x) के रूप में गत कार्य को नियंत्रित करना पड़ता है, जहां g(x) और h(x) दोनों गणनाएँ होती हैं। चुनौती यह होती है कि ये गणनाएँ अकेले अपने तरीके से काफी भिन्न हो सकती हैं, जिसके कारण उनके अवकलज की गणना थोड़ा अधिक जटिल हो जाती है।

भाजक नियम क्या है?

गणितीय रूप से, भाजक नियम कहता है कि यदि आपके पास f(x) = g(x) / h(x) के रूप में दिया गया कार्य है, तो अवकलज f'(x) निम्नलिखित होता है:

(f(x))' = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x)^2)

साधारण शब्दों में, एक भाजक का अवकलज खोजने के लिए:

• गणक का अवकलज लें कि g'(x) प्राप्त करें।
• इस अवकलज को भाजक h(x) से गुणा करें।
• भाजक का अवकलज लें कि h'(x) प्राप्त करें।
• इस अवकलज को गणक g(x) से गुणा करें।
• पहले उत्पाद से दूसरे उत्पाद को घटाएं।
• अंत में, इसे भाजक के वर्ग h(x)^2 से विभाजित करें।

भाजक नियम को समझना

भाजक नियम के तत्वों का विश्लेषण करें:

• g'(x) * h(x): यह गणक का अवकलज और मूल भाजक है।
• g(x) * h'(x): यह मूल गणक और भाजक के अवकलज का गुणन होता है।
• h(x)^2: यह मूल भाजक का वर्ग होता है।

संक्षेप में, नियम सुनिश्चित करता है कि हम दोनों गणनाओं के परिवर्तन को ध्यान में रखें, जो भाजक के कुल परिवर्तन की गति को प्रभावित करता है।

चित्रात्मक उदाहरण 1: भाजक नियम का अनुप्रयोग

एक कार्य f(x) = x^2 / (3x + 2) का अवकलज f'(x) खोजने के लिए:

1. भाजक x^2 का अवकलज लें कि 2x प्राप्त करें।
2. भाजक 3x + 2 का अवकलज लें कि 3 प्राप्त करें।
3. भाजक नियम का अनुप्रयोग करें:

(f(x))' = ((2x) * (3x + 2) - (x^2) * 3) / (3x + 2)^2
    

इस अभिव्यक्ति को सरल बनाकर, हमें एक नया कार्य प्राप्त होता है जो मूल भाजक के परिवर्तन को दर्शाता है।

अध्ययन उदाहरण 2: भाजक नियम का अनुप्रयोग

चलो एक पाठ उदाहरण पर विचार करते हैं जिसमें कदम शामिल हैं:

कार्य: f(x) = (5x - 4) / (x + 1)

हमें f'(x) का अवकलज प्राप्त करना है:

1. पहचानें g(x) = 5x - 4 और h(x) = x + 1।
2. गणक g(x) का अवकलज लें कि g'(x) = 5 प्राप्त करें।
3. भाजक h(x) का अवकलज लें कि h'(x) = 1 प्राप्त करें।
4. भाजक नियम का अनुप्रयोग करें:

(f(x))' = ((5) * (x + 1) - (5x - 4) * 1) / (x + 1)^2
    

5. अभिव्यक्ति को सरल बनाकर f'(x) प्राप्त करें:

(f(x))' = (5x + 5 - 5x + 4) / (x + 1)^2
(f(x))' = (9) / (x + 1)^2
    

चित्रात्मक उदाहरण 2: भाजक नियम का अनुप्रयोग

एक कार्य f(x) = sin(x) / x का अवकलज f'(x) खोजने के लिए:

1. गणक sin(x) का अवकलज लें कि cos(x) प्राप्त करें।
2. प्रत्येक x का अवकलज 1 होता है।
3. भाजक नियम का अनुप्रयोग करें:

(f(x))' = ((cos(x) * x) - (sin(x) * 1)) / x^2
    

परिणामी अभिव्यक्ति मूल कार्य के परिवर्तन की दर को दर्शाती है।

अभ्यास समस्याएँ

भाजक नियम को मास्टर करने के लिए अभ्यास महत्वपूर्ण है। स्वयं इन समस्याओं को हल करें:

1. अवकलज करें: f(x) = (3x^3 - x) / (2x^2 + 1)
2. f'(x) खोजें: f(x) = (7x + 5) / (4x^3 - x)
3. अवकलज की गणना करें: f(x) = e^x / ln(x)

निष्कर्ष

भाजक नियम एक शक्तिशाली उपकरण है जो आपको विभाजन द्वारा बनाए गए जटिल कार्यों को संभालने में सक्षम बनाता है। इस नियम को समझना और इसे लागू करना आदेश की क्रमानुसार और गणक और भाजक के संबंध को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है। अभ्यास के साथ, यह भाजक वाले कलन समस्याओं को हल करने का एक स्वचालित हिस्सा बन जाता है।

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