積の法則

微分は、関数がどのように変化するかを理解するために重要な微積分の基本概念です。関数の導関数は、その関数の変化率を示します。微分における重要な技法の一つは積の法則です。この規則は特に、2つの関数の積を微分したいときに役立ちます。

微分入門

積の法則に深入りする前に、まず微分が何を意味するかを簡単に理解してみましょう。関数y = f(x)を考えてみましょう。この関数の導関数はf'(x)またはdy/dxで表され、xに対するyの変化率を表しています。

微分は、曲線の傾斜や物理学における変化率を求めるのに役立ち、経済学、工学、生物学などの分野で様々な応用があります。

積の法則を理解する

関数がu(x)およびv(x)のような2つの異なる関数の積である場合、各関数を個別に微分して結果を掛けるだけでは正しい答えは得られません。ここで積の法則が登場します。

積の法則は、関数yが2つの関数の積である場合を次のように述べています:

y = u(x) * v(x)

したがって、yのxに対する導関数は次のようになります:

dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx

この公式は次のようにも覚えられます:

(最初の関数 * 2番目の関数の導関数) + (2番目の関数 * 最初の関数の導関数)

積の法則を視覚化する

₀ , y ₀ )

上のグラフでは、黒い線が2つの関数u(x)とv(x)の積を表しているとしましょう。グラフ上の任意の点(x ₀ , y ₀ )で、この線に接する接線の傾きを見つけるために積の法則を適用することを想像できます。

なぜ積の法則が機能するのか

積の法則がなぜ機能するかを理解するために、2つの関数u(x)とv(x)を考えてみてください。xが少し変化することで、その積u(x)*v(x)がどのように変化するかを見つけたいとしましょう。xが(x + h)に変わるとき、新たな積は次のようになります:

[u(x) + Δu] * [v(x) + Δv]

この式を分配律を使って展開すると:

u(x)v(x) + u(x)Δv + v(x)Δu + ΔuΔv

積に対する変化は次のようになります:

Δ(u*v) = u(x)Δv + v(x)Δu + ΔuΔv

全体をhで割るとき（hがほぼ0であると仮定します）:

Δ(u*v)/h = u(x)(Δv/h) + v(x)(Δu/h) + (Δu/h)(Δv/h)

h → 0のとき、Δu/hとΔv/hはそれぞれuとvの導関数に近づきます。したがって、積の変化の極限は次のように与えられます:

dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx

積の法則の例

積の法則がどのように適用されるのか、いくつかの例を通して見てみましょう。

例1

関数u(x) = x^2とv(x) = e^xを考えてみます。この関数を微分したいとします:

y = x^2 * e^x

積の法則に従うと:

dy/dx = (d(x^2)/dx * e^x) + (x^2 * d(e^x)/dx)

x^2の導関数は2xであり、e^xの導関数はe^xです。これらの値を代入すると:

dy/dx = (2x * e^x) + (x^2 * e^x)

これらの項をまとめると:

dy/dx = x^2*e^x + 2x*e^x

例2

別の三角関数と代数関数の例を考えてみましょう。関数を微分します:

y = x * sin(x)

ここで積の法則を使用します:

dy/dx = (d(x)/dx * sin(x)) + (x * d(sin(x))/dx)

xの導関数は1であり、sin(x)の導関数はcos(x)です。これらの値を代入すると:

dy/dx = (1 * sin(x)) + (x * cos(x))

したがって、導関数は次のようになります:

dy/dx = sin(x) + x*cos(x)

例3

関数yを微分します:

y = (2x^3) * ln(x)

積の法則を適用します:

dy/dx = (d(2x^3)/dx * ln(x)) + ((2x^3) * d(ln(x))/dx)

2x^3の導関数は6x^2であり、ln(x)の導関数は1/xです。これらの値を代入すると:

dy/dx = (6x^2 * ln(x)) + ((2x^3) * (1/x))

言葉を簡略化します:

dy/dx = 6x^2*ln(x) + 2x^2

避けるべき一般的な間違い

積の法則を使用するとき、初心者はよく一般的な間違いをします:

• 規則を忘れる: 単に2つの導関数を掛け合わせて規則を使用しない。
• 間違った導関数: u(x)またはv(x)の導関数を正しく見つけない。
• 言葉を正しく組み合わせない: 言葉を適切に簡略化または組み合わせない。

積の法則を練習する

積の法則の適用に熟練するためには、練習が不可欠です。試してみる練習問題をいくつか挙げます:

• y = (x^3 + 3x) * (cos(x) - 1)の導関数を見つけます
• y = (5x^2 - 4) * ln(4x)を微分します
• y = (x + 7) * e^(-x)のdy/dxを計算します
• y = (sec(x)) * (tan(x))の導関数を見つけます
• y = sqrt(x) * x^xを微分します（ヒント:積の法則を適用した後に対数微分を使用します）

練習するときは、各ステップを明確に書き、積の法則の適用を正確に示してください。

結論

積の法則は、2つの関数の積を効率的に微分するための強力なツールです。この法則を理解し、記憶し、一般的な間違いを避け、一貫して練習することで、この法則を多様な関数に自信を持って適用できるようになります。積の法則、および他の微分法則を習得することは、積分、級数、微分方程式などのより深い微積分のトピックを探求するための重要なステップです。

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