Regla del producto

La diferenciación es un concepto fundamental en el cálculo, que es importante para entender cómo cambian las funciones. La derivada de una función nos da la tasa de cambio de esa función. Una de las técnicas importantes en la diferenciación es la regla del producto. Esta regla es especialmente útil cuando se desea derivar el producto de dos funciones.

Introducción a la diferenciación

Antes de profundizar en la regla del producto, entendamos brevemente qué significa la diferenciación. Considere una función y = f(x). La derivada de esta función, representada como f'(x) o dy/dx, representa la tasa a la cual y cambia con respecto a x.

La diferenciación ayuda a encontrar pendientes de curvas, tasas de cambio en física y tiene una variedad de aplicaciones en campos como la economía, la ingeniería y la biología.

Comprendiendo la regla del producto

Cuando una función es el producto de dos funciones diferentes, como u(x) y v(x), derivar cada función por separado y multiplicar los resultados no da la respuesta correcta. Aquí es donde entra en juego la regla del producto.

La regla del producto dice que si tienes una función y que es el producto de dos funciones, digamos:

y = u(x) * v(x)

Entonces la derivada de y con respecto a x es:

dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx

Esta fórmula también puede recordarse así:

(Primera función * derivada de la segunda función) + (Segunda función * derivada de la primera función)

Visualización de la regla del producto

₀ , y ₀ )

En el gráfico anterior, suponga que la línea negra representa el producto de dos funciones u(x) y v(x). En cualquier punto (x ₀ , y ₀ ) en el gráfico, puede imaginar aplicar la regla del producto para encontrar la pendiente de la tangente a esta línea.

Por qué funciona la regla del producto

Para entender por qué funciona la regla del producto, considere dos funciones u(x) y v(x). Suponga que desea encontrar el cambio en su producto u(x)*v(x) a medida que x cambia por una pequeña cantidad h. Cuando x cambia a (x + h), el nuevo producto es:

[u(x) + Δu] * [v(x) + Δv]

Expandir esta expresión usando la propiedad distributiva da:

u(x)v(x) + u(x)Δv + v(x)Δu + ΔuΔv

Los cambios en el producto son los siguientes:

Δ(u*v) = u(x)Δv + v(x)Δu + ΔuΔv

Dividiendo toda la ecuación por h (y asumiendo que h es cercano a cero):

Δ(u*v)/h = u(x)(Δv/h) + v(x)(Δu/h) + (Δu/h)(Δv/h)

Como h → 0, tanto Δu/h como Δv/h se acercan a las derivadas de u y v, respectivamente. Por lo tanto, el límite del cambio en el producto está dado por:

dy/dx = u(x) * dv/dx + v(x) * du/dx

Ejemplos de la regla del producto

Veamos cómo se aplica la regla del producto en la práctica a través de algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Consideremos las funciones u(x) = x^2 y v(x) = e^x. Queremos derivar las funciones:

y = x^2 * e^x

Según la regla del producto:

dy/dx = (d(x^2)/dx * e^x) + (x^2 * d(e^x)/dx)

La derivada de x^2 es 2x, y la derivada de e^x es e^x. Sustituyendo estos valores, obtenemos:

dy/dx = (2x * e^x) + (x^2 * e^x)

Combinando estos términos, obtenemos:

dy/dx = x^2*e^x + 2x*e^x

Ejemplo 2

Tomemos otro ejemplo de funciones trigonométricas y algebraicas. Derive la función:

y = x * sin(x)

Utilice la regla del producto aquí:

dy/dx = (d(x)/dx * sin(x)) + (x * d(sin(x))/dx)

La derivada de x es 1, y la derivada de sin(x) es cos(x). Sustituyendo estos valores, obtenemos:

dy/dx = (1 * sin(x)) + (x * cos(x))

Por lo tanto, la derivada es:

dy/dx = sin(x) + x*cos(x)

Ejemplo 3

Derive la función y:

y = (2x^3) * ln(x)

Aplicando la regla del producto:

dy/dx = (d(2x^3)/dx * ln(x)) + ((2x^3) * d(ln(x))/dx)

La derivada de 2x^3 es 6x^2, y la derivada de ln(x) es 1/x. Sustituyendo estos valores, obtenemos:

dy/dx = (6x^2 * ln(x)) + ((2x^3) * (1/x))

Simplificando los términos:

dy/dx = 6x^2*ln(x) + 2x^2

Errores comunes a evitar

Al usar la regla del producto, los principiantes a menudo cometen algunos errores comunes:

• Olvidar la regla: Simplemente multiplicar dos derivadas sin usar la regla.
• Derivada incorrecta: No encontrar las derivadas de u(x) o v(x) correctamente.
• Combinación incorrecta de términos: No simplificar o combinar los términos correctamente.

Practicando la regla del producto

La práctica es esencial para volverse competente en la aplicación de la regla del producto. Aquí hay algunos problemas de práctica que puede intentar:

• Encuentre la derivada de y = (x^3 + 3x) * (cos(x) - 1)
• Derive y = (5x^2 - 4) * ln(4x)
• Calcule dy/dx para y = (x + 7) * e^(-x)
• Encuentre la derivada de y = (sec(x)) * (tan(x))
• Derive y = sqrt(x) * x^x (Pista: utilice la diferenciación logarítmica después de aplicar la regla del producto)

Al practicar, asegúrese de anotar cada paso claramente y de mostrar adecuadamente su aplicación de la regla del producto.

Conclusión

La regla del producto es una herramienta poderosa en el cálculo que nos permite derivar eficientemente el producto de dos funciones. Al entender y memorizar la regla, evitar errores comunes y practicar de manera consistente, puede aplicar esta regla de manera confiada en una amplia variedad de funciones. Dominar la regla del producto, junto con otras reglas de diferenciación, es un paso importante en la exploración de temas de cálculo más profundos como la integración, las series y las ecuaciones diferenciales.

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