微分规则

微分是微积分中最基本的概念之一。它帮助我们找到函数在给定点的变化率。微分的美妙之处在于它的实用性——它被用于许多领域，如物理学、工程学、经济学、统计学等。本课将涵盖重要的微分规则，并通过解释、例子和视觉表示来支持每一个规则。

幂法则

幂法则是微分中最简单且最常用的规则。它表明，对于任何形式为 ( f(x) = ax^n ) 的函数，其中 ( a ) 是常数且 ( n ) 是正整数，导数 ( f'(x) ) 由以下公式给出：

f'(x) = anx^{n-1}

让我们来看一个例子：

例子：求 ( f(x) = 3x^4 ) 的导数。

解：

f(x) = 3x^4 f'(x) = 3 * 4 * x^{4-1} f'(x) = 12x^3

恒等规则

恒等规则表明常数函数的导数为零。如果 ( f(x) = c )，其中 ( c ) 是常数，那么：

f'(x) = 0

例子：求 ( f(x) = 7 ) 的导数。

解：

f(x) = 7 f'(x) = 0

和规则

和规则表明函数和的导数是其各自导数之和。如果我们有两个函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，那么它们和的导数是：

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

例子：如果 ( f(x) = x^2 + 3x )，求 ( f'(x) )。

解：

f(x) = x^2 + 3x f'(x) = (x^2)' + (3x)' f'(x) = 2x + 3

差规则

差规则类似于和规则，但适用于函数的差。如果我们有两个函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，那么它们差的导数是：

(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)

例子：如果 ( f(x) = 4x - 5x^3 )，求 ( f'(x) )。

解：

f(x) = 4x - 5x^3 f'(x) = (4x)' - (5x^3)' f'(x) = 4 - 15x^2

乘积规则

乘积规则指出两个函数的乘积的导数是通过将第一个函数的导数乘以第二个函数，并将第一个函数乘以第二个函数的导数获得的。如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 是两个可微函数，那么：

(f cdot g)'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)

例子：如果 ( f(x) = x^2 ) 和 ( g(x) = sin(x) )，求 ( (f cdot g)'(x) )。

解：

f(x) = x^2, g(x) = sin(x) f'(x) = 2x, g'(x) = cos(x) (f cdot g)'(x) = (x^2)' cdot sin(x) + x^2 cdot (sin(x))' (f cdot g)'(x) = 2x cdot sin(x) + x^2 cdot cos(x)

商规则

商规则用于微分相互除的函数。如果 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 是两个可微函数，那么它们商的导数是：

(f/g)'(x) = (g(x) cdot f'(x) - f(x) cdot g'(x)) / (g(x))^2

例子：如果 ( f(x) = x^2 ) 和 ( g(x) = e^x )，求 ( (f / g)'(x) )。

解：

f(x) = x^2, g(x) = e^x f'(x) = 2x, g'(x) = e^x (f / g)'(x) = (e^x cdot 2x - x^2 cdot e^x) / (e^x)^2 (f / g)'(x) = (2xe^x - x^2e^x) / e^{2x}

链式法则

链式法则是计算复合函数导数的公式。如果一个变量 ( u ) 是 ( x ) 的函数，即 ( u = g(x) )，另一个变量 ( y ) 是 ( u ) 的函数，即 ( y = f(u) )，那么 ( y ) 关于 ( x ) 的导数是：

dy/dx = dy/du cdot du/dx

例子：如果 ( y = (3x + 2)^5 )，求 ( dy/dx )。

解：

让 u = 3x + 2 y = u^5 dy/du = 5u^4 du/dx = 3 dy/dx = 5(3x + 2)^4 cdot 3 dy/dx = 15(3x + 2)^4

结论

微分规则是强大的工具，使微分任务系统地变得更简单。通过练习，这些规则使得一个人能够高效地解决复杂的微积分问题。每个规则都涉及不同类型的任务，无论是乘积、商或者复合。了解如何以及何时应用每个规则是掌握微分的关键。

对这些基本规则的透彻理解将对你在深入学习更复杂的微积分主题，如积分或偏导数时有很大帮助。继续练习问题，不久你就会发现应用这些规则变得自然而然。

评论