अवकलन के नियम

अवकलन कलन विद्या के सबसे मूलभूत अवधारणाओं में से एक है। यह हमें एक बिंदु पर एक फलन के परिवर्तन की दर खोजने में मदद करता है। अवकलन की खूबसूरती इसकी व्यावहारिकता में निहित है - यह भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, सांख्यिकी और अन्य कई क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। यह पाठ अवकलन के महत्वपूर्ण नियमों को कवर करेगा, प्रत्येक को स्पष्टीकरण, उदाहरण और दृश्य प्रतिनिधित्व के साथ समर्थन करेगा।

घातांक नियम

घातांक नियम अवकलन में सबसे सरल और सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला नियम है। यह कहता है कि किसी भी फलन ( f(x) = ax^n ) के लिए, जहाँ ( a ) एक स्थिरांक है और ( n ) एक धनात्मक पूर्णांक है, अवकलज ( f'(x) ) निम्न प्रकार दिया जाता है:

f'(x) = anx^{n-1}

आइए एक उदाहरण देखें:

उदाहरण: ( f(x) = 3x^4 ) के अवकलज को खोजें।

समाधान:

f(x) = 3x^4 f'(x) = 3 * 4 * x^{4-1} f'(x) = 12x^3

अविराम नियम

स्थिरांक नियम कहता है कि एक स्थिर फलन का अवकलज शून्य होता है। यदि ( f(x) = c ) है, जहाँ ( c ) एक स्थिरांक है, तो:

f'(x) = 0

उदाहरण: ( f(x) = 7 ) के अवकलज को खोजें।

समाधान:

f(x) = 7 f'(x) = 0

योग नियम

योग नियम कहता है कि फलनों के योग का अवकलज उनके संबंधित अवकलनों का योग होता है। यदि हमारे पास दो फलन ( f(x) ) और ( g(x) ) हैं, तो उनके योग का अवकलज है:

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

उदाहरण: यदि ( f(x) = x^2 + 3x ), तो ( f'(x) ) को खोजें।

समाधान:

f(x) = x^2 + 3x f'(x) = (x^2)' + (3x)' f'(x) = 2x + 3

घटाने का नियम

घटाने का नियम योग नियम के समान है लेकिन यह फलनों के अंतर पर लागू होता है। यदि हमारे पास दो फलन ( f(x) ) और ( g(x) ) हैं, तो उनके अंतर का अवकलज है:

(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)

उदाहरण: यदि ( f(x) = 4x - 5x^3 ), तो ( f'(x) ) को खोजें।

समाधान:

f(x) = 4x - 5x^3 f'(x) = (4x)' - (5x^3)' f'(x) = 4 - 15x^2

गुणन नियम

गुणन नियम कहता है कि दो फलनों के गुणनफल का अवकलज प्राप्त करने के लिए पहले फलन के अवकलज को दूसरे फलन से गुना किया जाता है और पहले फलन को दूसरे फलन के अवकलज से गुना किया जाता है। यदि ( f(x) ) और ( g(x) ) दो अवकलनीय फलन हैं, तो:

(f cdot g)'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)

उदाहरण: यदि ( f(x) = x^2 ) और ( g(x) = sin(x) ), तो ( (f cdot g)'(x) ) को खोजें।

समाधान:

f(x) = x^2, g(x) = sin(x) f'(x) = 2x, g'(x) = cos(x) (f cdot g)'(x) = (x^2)' cdot sin(x) + x^2 cdot (sin(x))' (f cdot g)'(x) = 2x cdot sin(x) + x^2 cdot cos(x)

भाग फलन का नियम

भाग फलन का नियम उन फलनों को अवकलित करने में उपयोग होता है जो एक-दूसरे द्वारा विभाजित होते हैं। यदि ( f(x) ) और ( g(x) ) दो अवकलनीय फलन हैं, तो उनके भाग का अवकलज है:

(f/g)'(x) = (g(x) cdot f'(x) - f(x) cdot g'(x)) / (g(x))^2

उदाहरण: यदि ( f(x) = x^2 ) और ( g(x) = e^x ), तो ( (f / g)'(x) ) को खोजें।

समाधान:

f(x) = x^2, g(x) = e^x f'(x) = 2x, g'(x) = e^x (f / g)'(x) = (e^x cdot 2x - x^2 cdot e^x) / (e^x)^2 (f / g)'(x) = (2xe^x - x^2e^x) / e^{2x}

श्रृंखला नियम

श्रृंखला नियम एक सममिश्र फलन का अवकलज निकालने का सूत्र है। यदि एक चर ( u ) ( x ) का फलन है, अर्थात् ( u = g(x) ) और दूसरा चर ( y ) ( u ) का फलन है, अर्थात् ( y = f(u) ), तो ( y ) की ( x ) के सापेक्ष अवकलज है:

dy/dx = dy/du cdot du/dx

उदाहरण: यदि ( y = (3x + 2)^5 ), तो ( dy/dx ) को खोजें।

समाधान:

Let u = 3x + 2 y = u^5 dy/du = 5u^4 du/dx = 3 dy/dx = 5(3x + 2)^4 cdot 3 dy/dx = 15(3x + 2)^4

निष्कर्ष

अवकलन के नियम शक्तिशाली उपकरण हैं जो अवकलन के कार्यों को व्यवस्थित रूप से आसान बनाते हैं। अभ्यास के साथ, ये नियम किसी व्यक्ति को कलनविद्या की जटिल समस्याओं को कुशलता से हल करने में सक्षम बनाते हैं। प्रत्येक नियम विभिन्न प्रकार के कार्यों को संबोधित करता है, चाहे वे गुणनफल, भागफल, या सममिश्र फलन हों। प्रत्येक नियम को लागू करने का तरीका और समय समझना अवकलन को समझने की कुंजी है।

इन मूलभूत नियमों की गहन समझ बनाना आपको कलनविद्या के अधिक जटिल विषयों जैसे समाकलन या आंशिक अवकलज के साथ आगे बढ़ने में काफी मदद करेगा। समस्याओं का अभ्यास करते रहें, और जल्द ही आप पाएंगे कि इन नियमों को लागू करना दूसरी प्रकृति बन जाएगी।

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