Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 → Introducción al cálculo → Discriminación ↓


Reglas de diferenciación


La diferenciación es uno de los conceptos más básicos del cálculo. Nos ayuda a encontrar la tasa de cambio de una función en un punto dado. La belleza de la diferenciación radica en su practicidad: se utiliza en muchos campos como la física, la ingeniería, la economía, la estadística y más. Esta lección cubrirá importantes reglas de diferenciación, respaldando cada una con explicaciones, ejemplos y representaciones visuales.

Regla de la potencia

La regla de la potencia es la regla más simple y comúnmente utilizada en la diferenciación. Afirma que para cualquier función de la forma ( f(x) = ax^n ), donde ( a ) es una constante y ( n ) es un número entero positivo, la derivada ( f'(x) ) se da por:

f'(x) = anx^{n-1}

Veamos un ejemplo:

Ejemplo: Encuentra la derivada de ( f(x) = 3x^4 ).

Solución:

f(x) = 3x^4 f'(x) = 3 * 4 * x^{4-1} f'(x) = 12x^3
X f(x)

Regla de la continuidad

La regla de la constante afirma que la derivada de una función constante es cero. Si ( f(x) = c ), donde ( c ) es una constante, entonces:

f'(x) = 0

Ejemplo: Encuentra la derivada de ( f(x) = 7 ).

Solución:

f(x) = 7 f'(x) = 0

Reglas de la suma

La regla de la suma establece que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de sus respectivas derivadas. Si tenemos dos funciones ( f(x) ) y ( g(x) ), entonces la derivada de su suma es:

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Ejemplo: Si ( f(x) = x^2 + 3x ), encuentra ( f'(x) ).

Solución:

f(x) = x^2 + 3x f'(x) = (x^2)' + (3x)' f'(x) = 2x + 3

Regla de la diferencia

La regla de la diferencia es similar a la regla de la suma pero se aplica a la diferencia de funciones. Si tenemos dos funciones ( f(x) ) y ( g(x) ), entonces la derivada de su diferencia es:

(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Ejemplo: Si ( f(x) = 4x - 5x^3 ), encuentra ( f'(x) ).

Solución:

f(x) = 4x - 5x^3 f'(x) = (4x)' - (5x^3)' f'(x) = 4 - 15x^2

Regla del producto

La regla de la multiplicación establece que la derivada del producto de dos funciones se obtiene multiplicando la derivada de la primera función por la segunda función y multiplicando la primera función por la derivada de la segunda función. Si ( f(x) ) y ( g(x) ) son dos funciones diferenciables, entonces:

(f cdot g)'(x) = f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x)

Ejemplo: Si ( f(x) = x^2 ) y ( g(x) = sin(x) ), entonces encuentra ( (f cdot g)'(x) ).

Solución:

f(x) = x^2, g(x) = sin(x) f'(x) = 2x, g'(x) = cos(x) (f cdot g)'(x) = (x^2)' cdot sin(x) + x^2 cdot (sin(x))' (f cdot g)'(x) = 2x cdot sin(x) + x^2 cdot cos(x)

Regla del cociente

La regla del cociente se utiliza para diferenciar funciones que están divididas entre sí. Si ( f(x) ) y ( g(x) ) son dos funciones diferenciables, entonces la derivada de su cociente es:

(f/g)'(x) = (g(x) cdot f'(x) - f(x) cdot g'(x)) / (g(x))^2

Ejemplo: Si ( f(x) = x^2 ) y ( g(x) = e^x ), entonces encuentra ( (f / g)'(x) ).

Solución:

f(x) = x^2, g(x) = e^x f'(x) = 2x, g'(x) = e^x (f / g)'(x) = (e^x cdot 2x - x^2 cdot e^x) / (e^x)^2 (f / g)'(x) = (2xe^x - x^2e^x) / e^{2x}

Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de una función compuesta. Si una variable ( u ) es una función de ( x ), es decir, ( u = g(x) ) y la otra variable ( y ) es una función de ( u ), es decir, ( y = f(u) ), entonces la derivada de ( y ) con respecto a ( x ) es:

dy/dx = dy/du cdot du/dx

Ejemplo: Si ( y = (3x + 2)^5 ), encuentra ( dy/dx ).

Solución:

Let u = 3x + 2 y = u^5 dy/du = 5u^4 du/dx = 3 dy/dx = 5(3x + 2)^4 cdot 3 dy/dx = 15(3x + 2)^4

Conclusión

Las reglas de la diferenciación son herramientas poderosas que hacen que las tareas de diferenciación sean sistemáticamente más fáciles. Con práctica, estas reglas permiten a una persona resolver eficientemente problemas complejos en cálculo. Cada regla aborda diferentes tipos de tareas, ya sean productos, cocientes o compuestos. Entender cómo y cuándo aplicar cada regla es clave para dominar la diferenciación.

Construir una comprensión profunda de estas reglas fundamentales te ayudará enormemente a medida que avances a temas más complejos de cálculo, como la integración o las derivadas parciales. Sigue practicando problemas, y pronto descubrirás que aplicar estas reglas se vuelve algo natural.


Grado 11 → 4.2.2


U
username
0%
completado en Grado 11

← Anterior (4.2.1)
Definición de derivada
Siguiente (4.2.3) →
Derivadas de orden superior

Comentarios 



Reglas de diferenciación

https://www.buddymath.com/g11/4.2.2?bmal=es