11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Definição de derivada


No campo do cálculo, um dos conceitos fundamentais que os alunos encontram é a ideia de uma "derivada". Derivadas desempenham um papel fundamental na compreensão de como as funções mudam, descrevendo taxas de variação e resolvendo muitos problemas do mundo real. À medida que exploramos este tópico, vamos nos aprofundar na definição da derivada, examinar sua base matemática, entender através de exemplos visuais e olhar para exemplos práticos.

O que é uma derivada?

A derivada mostra a taxa na qual uma função está mudando em um determinado ponto. Se você imaginar um gráfico representando uma função, a derivada em um ponto particular lhe diz quão íngreme o gráfico está naquele ponto, ou quão rapidamente os valores estão subindo ou caindo. Em termos simples, se você pensar em uma jornada, a derivada lhe diz a que velocidade você está viajando.

Definição matemática

A derivada de uma função f(x) em um ponto específico x é definida como o limite da taxa média de variação da função em um intervalo, à medida que o intervalo se reduz a zero. Matematicamente, pode ser expressa como:

lim[h -> 0] (f(x + h) - f(x)) / h

Nesta equação:

  • lim denota o limite.
  • h é um pequeno aumento em x.
  • f(x + h) é o valor da função em x + h.
  • f(x) é o valor da função em x.

Por exemplo, se f(x) = x^2, então a derivada, f'(x), é calculada como:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((x + h)^2 - x^2) / h 
              = lim[h -> 0] (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h 
              = lim[h -> 0] (2xh + h^2) / h 
              = lim[h -> 0] (2x + h) 
              = 2x

Compreendendo a derivada visualmente

Vamos tentar entender graficamente o que significa a derivada. Imagine que você está olhando para o gráfico da função f(x). A derivada em um ponto no gráfico representa a inclinação da linha tangente à curva naquele ponto.

linha tangente

No quadro acima:

  • O ponto vermelho é um ponto na curva da função f(x).
  • A linha azul é a tangente naquele ponto, representando a derivada.
  • A linha verde tracejada é uma linha secante usada no cálculo da derivada.

A inclinação da linha azul é a derivada. Se a linha inclina para cima, a derivada é positiva; se inclina para baixo, a derivada é negativa.

Outros exemplos

Exemplo 1: Função linear

Considere f(x) = 3x + 5 Para encontrar a derivada:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((3(x + h) + 5) - (3x + 5)) / h 
              = lim[h -> 0] (3h) / h 
              = 3

A derivada de uma função linear é a inclinação constante da linha, que é 3 neste caso.

Exemplo 2: Função polinomial

Considere f(x) = x^3. Para encontrar a derivada:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((x + h)^3 - x^3) / h 
              = lim[h -> 0] (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3) / h 
              = lim[h -> 0] (3x^2h + 3xh^2 + h^3) / h 
              = lim[h -> 0] (3x^2 + 3xh + h^2) 
              = 3x^2

A derivada de x^3 é 3x^2, o que mostra como a inclinação da tangente muda com x.

Exemplo 3: Função potência

A regra da derivada para qualquer função potência f(x) = x^n é:

        f'(x) = n*x^(n-1)

Esta fórmula, conhecida como regra do poder, é uma maneira simples e eficiente de encontrar derivadas de funções de potência.

Exemplo 4: Funções trigonométricas

Considere f(x) = sin(x). A derivada é obtida usando limites e identidades trigonométricas:

        f'(x) = cos(x)

Isto significa que a taxa de variação da função seno é representada pela função cosseno.

Aplicações das derivadas

Derivadas têm muitas aplicações em vários setores. Aqui estão algumas das principais aplicações:

  • Física: Derivadas ajudam a entender velocidade, aceleração e velocidade.
  • Economia: Elas são usadas em modelos econômicos para determinar custos marginais e receitas.
  • Biologia: Usadas na modelagem do crescimento e decaimento populacional.
  • Engenharia: Essenciais para entender mudanças e otimização em vários processos.

Conclusão

Compreender as derivadas é um pilar do cálculo, abrindo a porta para muitas aplicações matemáticas e percepções. Lembre-se de que as derivadas são simplesmente uma ferramenta para medir como as coisas mudam. Embora as derivadas possam ser complexas, dividi-las em seus conceitos básicos, como fizemos aqui, pode torná-las gerenciáveis e acessíveis.

À medida que você continua seus estudos em cálculo, descobrirá que as derivadas são apenas o começo. Elas formam a base para o cálculo integral, equações diferenciais e muito mais. Continue praticando e usando esses conceitos, pois eles servem como ferramentas valiosas em sua caixa de ferramentas matemática.


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Definição de derivada

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