Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Definición de derivada


En el campo del cálculo, uno de los conceptos fundamentales que los estudiantes encuentran es la idea de una "derivada". Las derivadas juegan un papel clave en la comprensión de cómo cambian las funciones, describiendo tasas de cambio y resolviendo muchos problemas del mundo real. A medida que exploramos este tema, profundizaremos en la definición de la derivada, examinaremos su base matemática, entenderemos a través de ejemplos visuales y veremos ejemplos prácticos.

¿Qué es una derivada?

La derivada muestra la tasa a la cual una función está cambiando en un punto dado. Si imaginas un gráfico que representa una función, la derivada en un punto particular te dice qué tan empinada es la gráfica en ese punto, o qué tan rápido están subiendo o bajando los valores. En términos sencillos, si piensas en un viaje, la derivada te dice a qué velocidad estás viajando.

Definición matemática

La derivada de una función f(x) en un punto específico x se define como el límite de la tasa de cambio promedio de la función sobre un intervalo, a medida que el intervalo se reduce a cero. Matemáticamente, puede expresarse como:

lim[h -> 0] (f(x + h) - f(x)) / h

En esta ecuación:

  • lim denota el límite.
  • h es un pequeño incremento en x.
  • f(x + h) es el valor de la función en x + h.
  • f(x) es el valor de la función en x.

Por ejemplo, si f(x) = x^2, entonces la derivada, f'(x), se calcula como:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((x + h)^2 - x^2) / h 
              = lim[h -> 0] (x^2 + 2xh + h^2 - x^2) / h 
              = lim[h -> 0] (2xh + h^2) / h 
              = lim[h -> 0] (2x + h) 
              = 2x

Entendiendo la derivada visualmente

Tratemos de entender gráficamente lo que significa la derivada. Imagina que estás viendo el gráfico de la función f(x). La derivada en un punto del gráfico representa la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto.

línea tangente

En la imagen de arriba:

  • El punto rojo es un punto en la curva de la función f(x).
  • La línea azul es la tangente en ese punto, representando la derivada.
  • La línea punteada verde es una línea secante utilizada en el cálculo de la derivada.

La pendiente de la línea azul es la derivada. Si la línea tiene una pendiente ascendente, la derivada es positiva; si tiene una pendiente descendente, la derivada es negativa.

Otros ejemplos

Ejemplo 1: Función lineal

Considera f(x) = 3x + 5 Para encontrar la derivada:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((3(x + h) + 5) - (3x + 5)) / h 
              = lim[h -> 0] (3h) / h 
              = 3

La derivada de una función lineal es la pendiente constante de la línea, que es 3 en este caso.

Ejemplo 2: Función polinómica

Considera f(x) = x^3. Para encontrar la derivada:

        f'(x) = lim[h -> 0] ((x + h)^3 - x^3) / h 
              = lim[h -> 0] (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3) / h 
              = lim[h -> 0] (3x^2h + 3xh^2 + h^3) / h 
              = lim[h -> 0] (3x^2 + 3xh + h^2) 
              = 3x^2

La derivada de x^3 es 3x^2, lo que muestra cómo cambia la pendiente de la tangente con x.

Ejemplo 3: Función de potencia

La regla de la derivada para cualquier función de potencia f(x) = x^n es:

        f'(x) = n*x^(n-1)

Esta fórmula, conocida como la regla de la potencia, es una forma simple y eficiente de encontrar derivadas de funciones de potencia.

Ejemplo 4: Funciones trigonométricas

Considera f(x) = sin(x). La derivada se obtiene usando límites y identidades trigonométricas:

        f'(x) = cos(x)

Esto significa que la tasa de cambio de la función seno está representada por la función coseno.

Aplicaciones de las derivadas

Las derivadas tienen muchas aplicaciones en varios sectores. Aquí están algunas de las aplicaciones más importantes:

  • Física: Las derivadas ayudan a entender la velocidad, la rapidez y la aceleración.
  • Economía: Se utilizan en modelos económicos para determinar costos y ingresos marginales.
  • Biología: Se utilizan en el modelado del crecimiento y la decadencia de poblaciones.
  • Ingeniería: Esencial para entender cambios y optimización en varios procesos.

Conclusión

Entender las derivadas es una piedra angular del cálculo, abriendo la puerta a muchas aplicaciones matemáticas y conocimientos. Recuerda que las derivadas son simplemente una herramienta para medir cómo cambian las cosas. Aunque las derivadas pueden ser complejas, descomponerlas en sus conceptos básicos, como hemos hecho aquí, puede hacerlas manejables y accesibles.

A medida que continúes tus estudios en cálculo, encontrarás que las derivadas son solo el comienzo. Forman la base para el cálculo integral, ecuaciones diferenciales y mucho más. Sigue practicando y utilizando estos conceptos, ya que serán herramientas valiosas en tu caja de herramientas matemáticas.


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