11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Tipos de descontinuidade


No cálculo, entender a continuidade é fundamental. Quando estudamos funções, um aspecto importante que avaliamos é quão suave ou "contínua" a função é. No entanto, nem todas as funções são suaves e, às vezes, podem ter o que chamamos de uma descontinuidade. A descontinuidade ocorre no ponto em que a função não é contínua.

Entendendo a continuidade

Uma função f(x) é dita contínua no ponto x = a se as seguintes condições forem satisfeitas:

  • A função f(x) está definida em x = a.
  • O limite de f(x) existe à medida que x se aproxima de a.
  • O limite de f(x) à medida que x se aproxima de a é igual a f(a).

Matematicamente, isso pode ser expresso como:

lim x→a f(x) = f(a)

Se alguma dessas condições falhar, a função é descontínua nesse ponto. Existem vários tipos de descontinuidade que podemos classificar com base no motivo pelo qual a função não é contínua em um ponto.

Tipos de descontinuidade

1. Descontinuidades removíveis

Uma descontinuidade removível é quando uma função tem um buraco em um determinado ponto, mas você pode basicamente "preencher" esse buraco para tornar a função contínua. Formalmente, uma descontinuidade removível em x = c é onde o limite da função existe à medida que x se aproxima de c, mas não é igual ao valor da função em c (ou a função não está definida em c).

Considere esta função:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Esta função não está definida em x = 1 porque o denominador se torna zero. Vamos tentar simplificá-la:

f(x) = ((x - 1)(x + 1))/(x - 1) = x + 1, para x ≠ 1

Portanto, f(x) é essencialmente igual a x + 1, exceto em x = 1 onde não está definida. Portanto, temos uma descontinuidade removível em x = 1.

x + 1

Uma descontinuidade removível em x = 1.

2. Descontinuidades de salto

Descontinuidades de salto ocorrem quando o limite bilateral não existe, pois o limite à esquerda LHL (quando x se aproxima do ponto pela esquerda) e o limite à direita RHL (quando x se aproxima do ponto pela direita) existem, mas não são iguais entre si.

Considere a função f(x), que é definida como:

f(x) = { 2, x < 2 { 3, x ≥ 2

Esta função tem uma descontinuidade em x = 2 porque:

  • LHL = lim x→2⁻ f(x) = 2
  • RHL = lim x→2⁺ f(x) = 3

Como LHL ≠ RHL, há um salto em x = 2.

uma descontinuidade de salto em x = 2.

3. Descontinuidades infinitas

Estas ocorrem quando o limite da função tende ao infinito à medida que x se aproxima de um certo ponto c. A função apresenta uma assíntota vertical nesse ponto.

Considere esta função:

f(x) = 1/(x - 3)

À medida que x se aproxima de 3, o denominador se aproxima de zero, fazendo com que toda a função tenda ao infinito. Portanto, x = 3 é uma descontinuidade infinita.

Descontinuidade infinita em x = 3.

4. Descontinuidades de oscilação

Descontinuidades de oscilação ocorrem quando os valores de uma função oscilam entre diferentes números à medida que se aproximam de um determinado ponto x. Isso significa que a função não é constante em nenhum valor específico, tornando impossível definir um único limite.

Considere esta função:

f(x) = sin(1/x)

À medida que x se aproxima de 0, o valor de 1/x se torna infinitamente grande, fazendo com que sin(1/x) oscile entre -1 e 1. Portanto, x = 0 é onde encontramos a descontinuidade de oscilação.

Representação matemática

Matematicamente, você pode representar essas descontinuidades usando limites. Uma função f(x) possui:

  • Descontinuidade removível: lim x→c f(x) existe, f(c) está definida, mas lim x→c f(x) ≠ f(c)
  • Descontinuidade de salto: LHL ≠ RHL em x = c.
  • Descontinuidade infinita: lim x→c f(x) = ±∞.
  • Descontinuidade de oscilação: lim x→c f(x) não existe devido à oscilação.

Lidando com discrepâncias

Identificação do tipo

O primeiro passo para lidar com descontinuidades é identificar o tipo. Use limites para analisar o comportamento da função à medida que se aproxima do ponto de interesse.

Lidando com descontinuidades removíveis

Para "corrigir" uma descontinuidade removível, redefina a função no ponto de descontinuidade para preencher o buraco.

Lidando com descontinuidades de salto

Estas são frequentemente incluídas intencionalmente em funções fragmentadas. Elas não podem ser removidas sem redefinir a função, o que pode alterar sua natureza.

Lidando com descontinuidades infinitas

Descontinuidades infinitas estão associadas a assíntotas verticais. Em muitos casos, elas são parte do caráter da função, especialmente em funções racionais.

Lidando com descontinuidades oscilatórias

Estas são complicadas, mas geralmente estão presentes em funções que envolvem trigonometria ou outras funções oscilantes. Normalmente, não podem ser "corrigidas" porque são inerentes à natureza da função.

Conclusão

Entender as descontinuidades no cálculo é importante para analisar o comportamento de uma função. Seja lidando com descontinuidades removíveis, de salto, infinitas ou oscilatórias, identificá-las ajuda a entender a estrutura mais ampla da função que estamos investigando. Usando limites, podemos entender não apenas onde uma função é descontínua, mas também como ela é descontínua, o que auxilia na análise e aplicação matemática precisa.


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