Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Tipos de discontinuidad


En cálculo, entender la continuidad es fundamental. Cuando estudiamos funciones, un aspecto importante que evaluamos es cuán suave o "continua" es la función. Sin embargo, no todas las funciones son suaves, y a veces pueden tener lo que llamamos una discontinuidad. La discontinuidad ocurre en el punto donde la función no es continua.

Entendiendo la continuidad

Se dice que una función f(x) es continua en el punto x = a si se cumplen las siguientes condiciones:

  • La función f(x) está definida en x = a.
  • El límite de f(x) existe cuando x se aproxima a a.
  • El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es igual a f(a).

Matemáticamente, esto se puede expresar como:

lim x→a f(x) = f(a)

Si alguna de estas condiciones falla, la función es discontinua en ese punto. Hay varios tipos de discontinuidad que podemos clasificar según por qué la función no es continua en un punto.

Tipos de discontinuidad

1. Discontinuidades removibles

Una discontinuidad removible es cuando una función tiene un hueco en un cierto punto, pero básicamente puedes "llenar" este hueco para hacer la función continua. Formalmente, una discontinuidad removible en x = c es donde el límite de la función existe cuando x se aproxima a c, pero no es igual al valor de la función en c (o la función no está definida en c).

Considera esta función:

f(x) = (x² - 1) / (x - 1)

Esta función no está definida en x = 1 porque el denominador se vuelve cero. Intentemos simplificarlo:

f(x) = ((x - 1)(x + 1))/(x - 1) = x + 1, para x ≠ 1

Por lo tanto, f(x) es esencialmente igual a x + 1, excepto en x = 1 donde no está definida. Por lo tanto, tenemos una discontinuidad removible en x = 1.

x + 1

Una discontinuidad removible en x = 1.

2. Discontinuidades de salto

Las discontinuidades de salto ocurren cuando el límite bilateral no existe, porque el límite lateral izquierdo LHL (cuando x se aproxima al punto desde la izquierda) y el límite lateral derecho RHL (cuando x se aproxima al punto desde la derecha) existen pero no son iguales entre sí.

Considera la función f(x), que se define como:

f(x) = { 2, x < 2 { 3, x ≥ 2

Esta función tiene una discontinuidad en x = 2 porque:

  • LHL = lim x→2⁻ f(x) = 2
  • RHL = lim x→2⁺ f(x) = 3

Ya que LHL ≠ RHL, hay un salto en x = 2.

Una discontinuidad de salto en x = 2.

3. Discontinuidades infinitas

Estas ocurren cuando el límite de la función se aproxima al infinito cuando x se aproxima a un cierto punto c. La función presenta una asíntota vertical en ese punto.

Considera esta función:

f(x) = 1/(x - 3)

Cuando x se aproxima a 3, el denominador se aproxima a cero, causando que toda la función se acerque al infinito. Por lo tanto, x = 3 es una discontinuidad infinita.

Discontinuidad infinita en x = 3.

4. Discontinuidades de oscilación

Las discontinuidades de oscilación ocurren cuando los valores de una función oscilan entre diferentes números al acercarse a un punto particular x. Esto significa que la función no es constante en ningún valor específico, haciendo imposible definir un único límite.

Considera esta función:

f(x) = sin(1/x)

Cuando x se aproxima a 0, el valor de 1/x se vuelve infinitamente grande, causando que sin(1/x) oscile entre -1 y 1. Por lo tanto, x = 0 es donde encontramos la discontinuidad de oscilación.

Representación matemática

Matemáticamente, puedes representar estas discontinuidades usando límites. Una función f(x) tiene:

  • Discontinuidad removible: lim x→c f(x) existe, f(c) está definido, pero lim x→c f(x) ≠ f(c)
  • Discontinuidad de salto: LHL ≠ RHL en x = c.
  • Discontinuidad infinita: lim x→c f(x) = ±∞.
  • Discontinuidad de oscilación: lim x→c f(x) no existe debido a la oscilación.

Manejo de discrepancias

Identificación de tipo

El primer paso para manejar las discontinuidades es identificar el tipo. Usa límites para analizar el comportamiento de la función a medida que se acerca al punto de interés.

Manejando discontinuidades removibles

Para "arreglar" una discontinuidad removible, redefine la función en el punto de discontinuidad para llenar el hueco.

Manejando discontinuidades de salto

Estas suelen incluirse intencionalmente en funciones fragmentadas. No pueden eliminarse sin redefinir la función, lo cual puede cambiar su naturaleza.

Manejando discontinuidades infinitas

Las discontinuidades infinitas están asociadas con las asíntotas verticales. En muchos casos, estas forman parte del carácter de la función, especialmente en funciones racionales.

Manejando discontinuidades oscilatorias

Estas son complicadas pero suelen estar presentes en funciones que involucran trigonometría u otras funciones oscilantes. Por lo general, no pueden "arreglarse" porque son inherentes a la naturaleza de la función.

Conclusión

Entender las discontinuidades en cálculo es importante para analizar el comportamiento de una función. Ya sea tratando con discontinuidades removibles, de salto, infinitas o de oscilación, identificarlas ayuda a comprender la estructura más amplia de la función que estamos investigando. Usando límites, podemos entender no solo dónde una función es discontinua, sino también cómo es discontinua, lo cual ayuda en el análisis y aplicación matemática precisa.


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