Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Введение в математический анализ → Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе ↓


Односторонние пределы


Понимание концепции односторонних пределов важно в изучении математического анализа. Односторонние пределы позволяют исследовать поведение функций при приближении к определенной точке с одной стороны — либо слева, либо справа. Эта концепция может быть особенно полезной для разрывных функций или в точках, где функции изменяются очень быстро.

Введение в односторонние пределы

В математике односторонний предел относится к предельному поведению функции, когда аргумент или переменная приближается к точке только с одной стороны. Формально существуют два типа односторонних пределов:

  • Левосторонний предел, обозначаемый как lim x→c⁻ f(x), относится к значению, к которому функция f(x) стремится, когда x приближается к c слева.
  • Правосторонний предел, обозначаемый как lim x→c⁺ f(x), относится к значению, к которому функция f(x) стремится, когда x приближается к c справа.

Проще говоря, односторонние пределы позволяют понять, насколько близко функция подходит к определенному значению при приближении с определенного направления, помогая понять функции, которые демонстрируют различное поведение справа и слева от точки.

Визуальный пример

Чтобы понять односторонние пределы более четко, рассмотрим следующую графическую иллюстрацию:

Предположим, у нас есть функция f(x), где:

C f(x)

На приведенном выше графике вы можете увидеть функцию f(x), изображенную синим цветом, которая имеет разрыв в точке x = c.

  • Левый предел можно увидеть, когда x приближается к c слева, то есть, lim x→c⁻ f(x) = L₁.
  • Правый предел понимается как предел, когда x возрастает справа к c, то есть, lim x→c⁺ f(x) = L₂.

Если L₁ равен L₂, то существует двусторонний предел, и lim x→c f(x) = L.

Текстовые примеры

Пример 1: Составная функция

Предположим, у вас есть составная функция, определенная как:

f(x) = { 2x + 3, если x < 4 5, если x = 4 3x - 1, если x > 4 }

Для x = 4, давайте проанализируем односторонние пределы:

  • Левый предел: lim x→4⁻ (2x + 3) = 2(4) + 3 = 11
  • Правый предел: lim x→4⁺ (3x - 1) = 3(4) - 1 = 11

Хотя значение функции равно f(4) = 5, пределы с обеих сторон совпадают, lim x→4 f(x) = 11, что отличается от значения функции из-за составного характера определения.

Пример 2: Рациональная функция

Рассмотрим рациональную функцию:

f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)

Отметим, что знаменатель становится 0, когда x = 3. Рассмотрим односторонние пределы:

  • Левый предел: (x^2 - 9) / (x - 3) упрощается до x + 3 для x ≠ 3. Продолжая слева, lim x→3⁻ (x + 3) = 6.
  • Правый предел: Аналогично, lim x→3⁺ (x + 3) = 6, когда мы идем справа.

Здесь, оба предела показывают, что хотя функция неопределена в точке x = 3, оба односторонних предела указывают на 6, что подтверждает, что предел f(x) при приближении x к 3 также равен 6.

Односторонние пределы и непрерывность

Односторонние пределы играют важную роль в понимании непрерывности функции. Чтобы функция была непрерывной в точке c, должны выполняться следующие условия:

  • Функция f(x) должна быть определена при x = c.
  • Предел f(x) при приближении x к c должен существовать.
  • Значение предела должно быть равно значению функции в этой точке, что означает lim x→c f(x) = f(c).

Если односторонние пределы в некоторой точке c расходятся, то предел в c не существует, что указывает на разрыв.

Почему односторонние пределы полезны

В математическом анализе односторонние пределы решают задачи, предоставляя нам инструменты для исследования сложного поведения функций, особенно в точках разрыва и скачка. Мы можем точно оценивать такие явления реального мира, как переключение сигналов в электронике, точки напряжения материалов в физике и оптимизация систем в инженерии.

Заключение

Односторонние пределы — это основополагающая концепция математического анализа, позволяющая анализировать и понимать подходы функций в определенных направлениях. Они необходимы для изучения непрерывности и понимания функций, которые могут сначала показаться произвольными или непредсказуемыми. Овладение односторонними пределами дает учащимся аналитические навыки, необходимые для более продвинутой математики, закладывая важный фундамент в их образовательном пути.


Класс 11 → 4.1.2


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (4.1.1)
Понятие предела
следующая (4.1.3) →
Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе

комментарии 



Односторонние пределы

https://www.buddymath.com/g11/4.1.2?bmal=ru