11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano → Introdução ao cálculo → Compreendendo limites e continuidade em cálculo ↓


Limites unilaterais


Compreender o conceito de limites unilaterais é importante no estudo do cálculo. Limites unilaterais nos permitem explorar o comportamento das funções à medida que se aproximam de um ponto específico de um lado—ou à esquerda ou à direita. Este conceito pode ser especialmente útil para funções descontínuas ou em pontos onde as funções mudam muito rapidamente.

Introdução aos limites unilaterais

Em matemática, um limite unilateral refere-se ao comportamento de limite de uma função à medida que a entrada ou variável se aproxima de um ponto apenas de um lado. Formalmente, existem dois tipos de limites unilaterais:

  • O limite à esquerda, denotado como lim x→c⁻ f(x), refere-se ao valor que a função f(x) aproxima à medida que x se aproxima de c pela esquerda.
  • O limite à direita, denotado lim x→c⁺ f(x), refere-se ao valor que a função f(x) aproxima à medida que x se aproxima de c pela direita.

Em termos simples, limites unilaterais determinam o quão próximo uma função se aproxima de um valor particular quando abordado de uma direção particular, nos ajudando a entender funções que apresentam comportamentos diferentes à direita e à esquerda de um ponto.

Exemplo visual

Para entender melhor os limites unilaterais, considere a seguinte representação gráfica:

Suponha que temos uma função f(x) onde:

C f(x)

No gráfico acima, você pode ver uma função f(x) representada em azul que tem uma descontinuidade no ponto x = c.

  • O limite à esquerda pode ser visto como x se aproximando de c pela esquerda, ou seja, lim x→c⁻ f(x) = L₁.
  • O limite à direita pode ser entendido como o limite à medida que x aumenta pela direita em direção a c, ou seja, lim x→c⁺ f(x) = L₂.

Se L₁ for igual a L₂, então existe um limite bilateral e, lim x→c f(x) = L.

Exemplos textuais

Exemplo 1: Função por partes

Suponha que você tenha uma função por partes definida como:

f(x) = { 2x + 3, se x < 4 5, se x = 4 3x - 1, se x > 4 }

Para x = 4, vamos analisar os limites unilaterais:

  • Limite à esquerda: lim x→4⁻ (2x + 3) = 2(4) + 3 = 11
  • Limite à direita: lim x→4⁺ (3x - 1) = 3(4) - 1 = 11

Embora o valor da função seja f(4) = 5, os limites de ambos os lados coincidem, lim x→4 f(x) = 11, o que é diferente do valor 4 da função devido à natureza por partes da definição.

Exemplo 2: Função racional

Considere a função racional:

f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)

Note que o denominador se torna 0 quando x = 3. Analisamos os limites unilaterais:

  • Limite à esquerda: (x^2 - 9) / (x - 3) simplifica para x + 3 para x ≠ 3. Continuando da esquerda, lim x→3⁻ (x + 3) = 6.
  • Limite à direita: De forma semelhante, lim x→3⁺ (x + 3) = 6 ao vir da direita.

Aqui, ambos os limites mostram que, embora a função esteja indefinida em x = 3, ambos os limites unilaterais apontam para 6, o que confirma que o limite de f(x) à medida que x se aproxima de 3 é também 6.

Limites unilaterais e continuidade

Limites unilaterais desempenham um papel importante na compreensão da continuidade da função. Para que uma função seja contínua em um ponto c, o seguinte deve ser verdadeiro:

  • A função f(x) deve estar definida em x = c.
  • O limite de f(x) à medida que x se aproxima de c deve existir.
  • O valor do limite deve ser igual ao valor da função naquele ponto, o que significa lim x→c f(x) = f(c).

Se os limites unilaterais em algum ponto c divergirem, então o limite em c não existe, o que indica descontinuidade.

Por que os limites unilaterais são úteis

No cálculo, limites unilaterais resolvem problemas dando-nos ferramentas para investigar comportamentos complexos de funções, especialmente em descontinuidades e saltos. Podemos avaliar fenômenos do mundo real, como troca de sinal em eletrônica, pontos de tensão material em física, e otimização de sistemas em engenharia com precisão.

Conclusão

Limites unilaterais são um conceito fundamental no cálculo que nos permite analisar e entender as abordagens de funções em direções específicas. Eles são essenciais no estudo da continuidade e na compreensão de funções que podem parecer arbitrárias ou imprevisíveis à primeira vista. O domínio de limites unilaterais equipa os estudantes com as habilidades analíticas necessárias para matemática mais avançada, estabelecendo uma pedra angular importante em sua jornada educacional.


11º ano → 4.1.2


U
username
0%
concluído em 11º ano

← Anterior (4.1.1)
O conceito de limite
Próximo (4.1.3) →
Compreendendo limites no infinito em cálculo

Comentários 



Limites unilaterais

https://www.buddymath.com/g11/4.1.2?bmal=pt