Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Límites unilaterales


Entender el concepto de límites unilaterales es importante en el estudio del cálculo. Los límites unilaterales nos permiten explorar el comportamiento de las funciones a medida que se acercan a un punto específico desde un lado, ya sea desde la izquierda o desde la derecha. Este concepto puede ser especialmente útil para funciones discontinuas o en puntos donde las funciones cambian muy rápidamente.

Introducción a los límites unilaterales

En matemáticas, un límite unilateral se refiere al comportamiento límite de una función a medida que la entrada o variable se acerca a un punto desde un solo lado. Formalmente, hay dos tipos de límites unilaterales:

  • El límite por la izquierda, denotado como lim x→c⁻ f(x), se refiere al valor al que se acerca la función f(x) cuando x se aproxima a c desde la izquierda.
  • El límite por la derecha, denotado lim x→c⁺ f(x), se refiere al valor al que se acerca la función f(x) cuando x se aproxima a c desde la derecha.

En términos simples, los límites unilaterales determinan cuán cerca se aproxima una función a un valor particular cuando se aproxima desde una dirección particular, ayudándonos a entender funciones que exhiben un comportamiento diferente a la derecha y a la izquierda de un punto.

Ejemplo visual

Para entender más claramente los límites unilaterales, considere la siguiente representación gráfica:

Supongamos que tenemos una función f(x) donde:

C f(x)

En el gráfico anterior, se puede ver una función f(x) graficada en azul que tiene una discontinuidad en el punto x = c.

  • El límite por la izquierda se puede ver cuando x se aproxima a c desde la izquierda, es decir, lim x→c⁻ f(x) = L₁.
  • El límite por la derecha se puede entender como el límite cuando x aumenta desde la derecha hacia c, es decir, lim x→c⁺ f(x) = L₂.

Si L₁ es igual a L₂, entonces existe un límite bilateral y, lim x→c f(x) = L.

Ejemplos textuales

Ejemplo 1: Función a trozos

Supongamos que tienes una función a trozos definida como:

f(x) = { 2x + 3, si x < 4 5, si x = 4 3x - 1, si x > 4 }

Para x = 4, analicemos los límites unilaterales:

  • Límite por la izquierda: lim x→4⁻ (2x + 3) = 2(4) + 3 = 11
  • Límite por la derecha: lim x→4⁺ (3x - 1) = 3(4) - 1 = 11

Aunque el valor de la función es f(4) = 5, los límites en ambos lados coinciden, lim x→4 f(x) = 11, que es diferente del valor 4 de la función debido a la naturaleza a trozos de la definición.

Ejemplo 2: Función racional

Consideremos la función racional:

f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3)

Note que el denominador se convierte en 0 cuando x = 3. Analizamos los límites unilaterales:

  • Límite por la izquierda: (x^2 - 9) / (x - 3) se simplifica a x + 3 para x ≠ 3. Continuando desde la izquierda, lim x→3⁻ (x + 3) = 6.
  • Límite por la derecha: De manera similar, lim x→3⁺ (x + 3) = 6 cuando nos acercamos desde la derecha.

Aquí, ambos límites muestran que aunque la función no está definida en x = 3, ambos límites unilaterales apuntan a 6, lo que confirma que el límite de f(x) cuando x se aproxima a 3 también es 6.

Límites unilaterales y continuidad

Los límites unilaterales juegan un papel importante en la comprensión de la continuidad de las funciones. Para que una función sea continua en un punto c, deben cumplirse las siguientes condiciones:

  • La función f(x) debe estar definida en x = c.
  • El límite de f(x) cuando x se aproxima a c debe existir.
  • El valor del límite debe ser igual al valor de la función en ese punto, lo que significa que lim x→c f(x) = f(c).

Si los límites unilaterales en algún punto c son divergentes, entonces el límite en c no existe, lo que indica discontinuidad.

Por qué son útiles los límites unilaterales

En cálculo, los límites unilaterales resuelven problemas al proporcionarnos herramientas para investigar comportamientos complejos de funciones, especialmente en discontinuidades y saltos. Podemos evaluar fenómenos del mundo real como el cambio de señal en la electrónica, los puntos de estrés material en la física y la optimización de sistemas en la ingeniería con precisión.

Conclusión

Los límites unilaterales son un concepto fundamental en el cálculo que nos permite analizar y entender los enfoques de las funciones en direcciones específicas. Son esenciales para estudiar la continuidad y comprender funciones que pueden parecer arbitrarias o impredecibles a primera vista. El dominio de los límites unilaterales equipa a los estudiantes con las habilidades analíticas necesarias para matemáticas más avanzadas, estableciendo un pilar importante en su trayectoria educativa.


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