Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 ↓


Тригонометрия


Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения, связанные с длинами и углами треугольников. Она возникла из приложений геометрии к астрономическим исследованиям в эллинистическом мире в III веке до н. э.

Введение в тригонометрию

Тригонометрия изучает отношения между сторонами и углами треугольников. Существует шесть тригонометрических функций, которые наиболее часто используются: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan), косеканс (csc), секанс (sec) и котангенс (cot). Эти функции сокращенно обозначаются как sin, cos, tan, csc, sec и cot соответственно.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов является прямым углом, то есть 90 градусов. Сторона, противоположная прямому углу, является самой длинной стороной и называется гипотенузой. Остальные две стороны называются прилежащей и противоположной сторонами. Названия «прилежащая» и «противоположная» зависят от рассматриваемого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник:

  • Прямой угол в вершине C,
  • Угол интереса в вершине A,
  • Сторона a противоположна углу A,
  • Сторона b прилежаща к углу A,
  • Сторона c — это гипотенуза.
C B A B (adjacent) a (opposite) c (hypotenuse)

Для этого треугольника:

  • Синус угла A, sin(A), равен отношению длины противоположной стороны к гипотенузе: sin(A) = a/c.
  • Косинус угла A, cos(A), равен отношению длины прилежащей стороны к гипотенузе: cos(A) = b/c.
  • Тангенс угла A, tan(A), равен отношению длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны: tan(A) = a/b.
  • Косеканс угла A, csc(A), является обратной функцией синуса: csc(A) = c/a.
  • Секанс угла A, sec(A), является обратной функцией косинуса: sec(A) = c/b.
  • Котангенс угла A, cot(A), является обратной функцией тангенса: cot(A) = b/a.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — это важное правило в геометрии и тригонометрии. Она утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов двух других сторон (a и b). Ее можно записать как: 

c² = a² + b²

Пример: В прямоугольном треугольнике, если сторона a = 3 единицы и сторона b = 4 единицы, используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу c.
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25
c = 5 единиц

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические соотношения очень полезны в различных приложениях. Большинство тригонометрических соотношений ассоциируются с углами между нулем и 90 градусами, особенно в контексте прямоугольных треугольников. Ниже приведены основные тригонометрические соотношения:

  • sin(θ) = Противолежащий / Гипотенуза
  • cos(θ) = Прилежащий / Гипотенуза
  • tan(θ) = Противолежащий / Прилежащий
  • csc(θ) = Гипотенуза / Противолежащий
  • sec(θ) = Гипотенуза / Прилежащий
  • cot(θ) = Прилежащий / Противолежащий

Рассмотрим треугольник:

  • Угол θ = 30 градусов
  • Противолежащая сторона = 1 единица
  • Гипотенуза = 2 единицы
  • Прилежащая сторона = √3 единицы
Расчет для 30 градусов:
  • sin(30°) = 1/2
  • cos(30°) = √3/2
  • tan(30°) = 1/√3
  • csc(30°) = 2/1 = 2
  • sec(30°) = 2/√3
  • cot(30°) = √3/1 = √3

Единичная окружность

Единичная окружность — это окружность с радиусом в одну единицу, центрированная в начале координатной плоскости. Это полезный инструмент для понимания углов и тригонометрических функций. Угол тета (θ) обычно измеряется относительно положительной оси X.

θ p(x, y) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)

Любая точка P(x, y) на этой окружности может быть представлена как:

  • cos(θ) = x : x-координата точки
  • sin(θ) = y : y-координата точки

Так как радиус единичной окружности всегда равен единице, то можно вывести тождество Пифагора следующим образом: 

x² + y² = 1²
То есть: 
cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — это уравнения, которые включают тригонометрические функции и являются истинными для любого значения задействованной переменной. Некоторые полезные тождества включают:

  • Тождество Пифагора: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
  • Сумма углов: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
  • Разность углов: cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
  • Двойной угол: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
  • Половинный угол: sin²(θ/2) = (1 - cos(θ))/2

Применение тригонометрии

Тригонометрия широко используется во многих областях, таких как физика, инженерия, астрономия, архитектура и различные разделы математики. Она особенно полезна при расчете расстояний, углов и высот в различных практических контекстах.

Пример: Инженер по авиации может использовать тригонометрию для отслеживания траектории полета самолета и расчета его расстояния от станции слежения.

Обратные тригонометрические функции

Иногда нам нужно найти угол, соответствующий заданному тригонометрическому значению. В этом случае пригодятся обратные тригонометрические функции. Это обратные функции тригонометрических функций, и они обозначаются как:

  • sin-1(x) или arcsin(x)
  • cos-1(x) или arccos(x)
  • tan-1(x) или arctan(x)
Каждая из этих обратных функций возвращает угол, имеющий определенное значение тригонометрической функции.

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений включает нахождение углов, удовлетворяющих данному уравнению. Это часто требует использования тождеств, алгебраических манипуляций и обратных функций. Вот простой способ решения тригонометрических уравнений:

Пример: Решите 2sin(θ) - 1 = 0 для θ.
1. Сначала изолируйте тригонометрическую функцию:
2sin(θ) = 1
sin(θ) = 1/2

2. Теперь найдите θ, используя обратную функцию:
θ = sin-1(1/2)

3. θ = 30° или θ = 150° в диапазоне от 0° до 360°.

Графики тригонометрических функций

Тригонометрические функции могут быть представлены графически. Синус, косинус и тангенс имеют специфические формы, известные как их "волны":

  • Графики синуса и косинуса — это непрерывные волны между -1 и 1.
  • График тангенса имеет вертикальные асимптоты и лежит между минус и плюс бесконечностью.

Эти волны являются периодическими, что означает, что они повторяются через определенный интервал. Для sin(x) и cos(x) этот интервал или период составляет 2π, а для tan(x) — π.

Заключение

Понимание тригонометрии важно для студентов, так как она является основой для углубленного изучения в области математики и науки. Навыки, полученные в результате освоения тригонометрических концепций, тождеств и уравнений, будут неоценимыми инструментами для решения задач в различных научных и инженерных областях.


Класс 11 → 3


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (2.3.4)
Ограничения для обратных функций
следующая (3.1) →
Тригонометрические отношения и идентичности

комментарии 



Тригонометрия

https://www.buddymath.com/g11/3?bmal=ru