11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

11º ano ↓


Trigonometria


A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações envolvendo os comprimentos e ângulos dos triângulos. Surgiu das aplicações da geometria aos estudos astronômicos no mundo helenístico durante o século III a.C.

Introdução à trigonometria

A trigonometria lida com as relações entre os lados e ângulos dos triângulos. Existem seis funções trigonométricas que são mais comumente usadas: seno (sin), cosseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) e cotangente (cot). Essas funções são abreviadas como sin, cos, tan, csc, sec e cot, respectivamente.

Triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um triângulo em que um dos ângulos é um ângulo reto, ou seja, 90 graus. O lado oposto ao ângulo reto é o lado mais longo e é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de lado adjacente e lado oposto. Os nomes "adjacente" e "oposto" dependem do ângulo em questão.

Considere um triângulo retângulo:

  • ângulo reto no vértice C,
  • O ângulo de interesse no vértice A,
  • O lado a é oposto ao ângulo A,
  • Lado b é adjacente ao ângulo A,
  • Lado c é a hipotenusa.
C B A B (adjacente) a (oposto) c (hipotenusa)

Para este triângulo:

  • O seno do ângulo A, sin(A), é a razão entre o comprimento do lado oposto e a hipotenusa: sin(A) = a/c.
  • O cosseno do ângulo A, cos(A), é a razão entre o comprimento do lado adjacente e a hipotenusa: cos(A) = b/c.
  • A tangente do ângulo A, tan(A), é a razão entre o comprimento do lado oposto e o comprimento do lado adjacente: tan(A) = a/b.
  • A cosecante do ângulo A, csc(A), é o inverso do seno: csc(A) = c/a.
  • A secante do ângulo A, sec(A), é o inverso do cosseno: sec(A) = c/b.
  • A cotangente do ângulo A, cot(A), é o inverso da tangente: cot(A) = b/a.

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras é uma regra importante na geometria e trigonometria. Afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (c) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (a e b). Pode ser escrito como: 

c² = a² + b²

Exemplo: Em um triângulo retângulo, se o lado a = 3 unidades e o lado b = 4 unidades, usando o teorema de Pitágoras podemos encontrar a hipotenusa c.
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25
c = 5 unidades

Relações trigonométricas

As relações trigonométricas são bastante úteis em uma variedade de aplicações. A maioria das relações trigonométricas está associada a ângulos entre zero e 90 graus, especialmente no contexto de triângulos retângulos. Abaixo estão as relações trigonométricas básicas:

  • sin(θ) = Oposto / Hipotenusa
  • cos(θ) = Adjacente / Hipotenusa
  • tan(θ) = Oposto / Adjacente
  • csc(θ) = Hipotenusa / Oposto
  • sec(θ) = Hipotenusa / Adjacente
  • cot(θ) = Adjacente / Oposto

Considere um triângulo:

  • Ângulo θ = 30 graus
  • Lado oposto = 1 unidade
  • Hipotenusa = 2 unidades
  • Lado adjacente = √3 unidades
Cálculo para 30 graus:
  • sin(30°) = 1/2
  • cos(30°) = √3/2
  • tan(30°) = 1/√3
  • csc(30°) = 2/1 = 2
  • sec(30°) = 2/√3
  • cot(30°) = √3/1 = √3

Círculo unitário

O círculo unitário é um círculo com raio de uma unidade, centrado na origem do plano de coordenadas. É uma ferramenta útil para entender ângulos e funções trigonométricas. O ângulo theta (θ) é geralmente medido em relação ao eixo x positivo.

θ p(x, y) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)

Qualquer ponto P(x, y) neste círculo pode ser representado como:

  • cos(θ) = x : a coordenada x do ponto
  • sin(θ) = y : coordenada y do ponto

Como o raio do círculo unitário é sempre um, a identidade Pitagórica pode ser derivada da seguinte forma: 

x² + y² = 1²
Significando: 
cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Identidades trigonométricas

As identidades trigonométricas são equações que envolvem funções trigonométricas e são verdadeiras para cada valor da variável envolvida. Algumas identidades úteis incluem:

  • Identidade de Pitágoras: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
  • Soma de ângulos: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
  • Diferença de ângulos: cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
  • Ângulo duplo: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
  • Meio ângulo: sin²(θ/2) = (1 - cos(θ))/2

Aplicações da trigonometria

A trigonometria é amplamente usada em muitos campos como física, engenharia, astronomia, arquitetura e vários ramos da matemática. É particularmente útil no cálculo de distâncias, ângulos e alturas em diversos contextos práticos.

Exemplo: Um engenheiro de aviação pode usar a trigonometria para rastrear o caminho de voo de uma aeronave e calcular a distância dela a partir de uma estação de rastreamento.

Funções trigonométricas inversas

Às vezes, precisamos encontrar o ângulo correspondente a um valor trigonométrico dado. É aí que as funções trigonométricas inversas são úteis. Estas são as funções inversas das funções trigonométricas e são representadas como:

  • sin-1(x) ou arcsin(x)
  • cos-1(x) ou arccos(x)
  • tan-1(x) ou arctan(x)
Cada uma dessas funções inversas retorna um ângulo que possui um valor específico da função trigonométrica.

Resolvendo equações trigonométricas

Resolver equações trigonométricas envolve encontrar ângulos que satisfaçam uma equação dada. Isso geralmente requer o uso de identidades, manipulações algébricas e funções inversas. Aqui está uma maneira simples de resolver equações trigonométricas:

Exemplo: Resolva 2sin(θ) - 1 = 0 para θ.
1. Primeiro, isole a função trigonométrica:
2sin(θ) = 1
sin(θ) = 1/2

2. Agora, encontre θ usando a função inversa:
θ = sin-1(1/2)

3. θ = 30° ou θ = 150° dentro do intervalo de 0° a 360°.

Gráficos de funções trigonométricas

As funções trigonométricas podem ser representadas graficamente. As funções seno, cosseno e tangente têm formas específicas conhecidas como suas "formas de onda":

  • Os gráficos de seno e cosseno são ondas contínuas entre -1 e 1.
  • O gráfico da função tangente possui assíntotas verticais e está entre o infinito negativo e positivo.

Essas formas de onda são periódicas, o que significa que se repetem em um determinado intervalo. Para sin(x) e cos(x), esse intervalo ou período é 2π, enquanto para tan(x), é π.

Conclusão

Entender a trigonometria é importante para os estudantes porque constitui a base para o estudo avançado em matemática e ciência. As habilidades adquiridas ao dominar conceitos, identidades e equações trigonométricas serão ferramentas inestimáveis para a resolução de problemas em diversos campos científicos e de engenharia.


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