Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 ↓


Trigonometría


La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre las longitudes y los ángulos de los triángulos. Surgió de las aplicaciones de la geometría a los estudios astronómicos en el mundo helenístico durante el siglo III a.C.

Introducción a la trigonometría

La trigonometría se ocupa de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Hay seis funciones trigonométricas que se utilizan con más frecuencia: seno (sin), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot). Estas funciones se abrevian como sin, cos, tan, csc, sec y cot, respectivamente.

Triángulo rectángulo

Un triángulo rectángulo es un triángulo en el que uno de los ángulos es un ángulo recto, es decir, de 90 grados. El lado opuesto al ángulo recto es el lado más largo y se llama la hipotenusa. Los otros dos lados se llaman el lado adyacente y el lado opuesto. Los nombres "adyacente" y "opuesto" dependen del ángulo en cuestión.

Considere un triángulo rectángulo:

  • ángulo recto en el vértice C,
  • El ángulo de interés en el vértice A,
  • El lado a es opuesto al ángulo A,
  • El lado b es adyacente al ángulo A,
  • El lado c es la hipotenusa.
C B A B (adyacente) a (opuesto) c (hipotenusa)

Para este triángulo:

  • El seno del ángulo A, sin(A), es el cociente de la longitud del lado opuesto a la hipotenusa: sin(A) = a/c.
  • El coseno del ángulo A, cos(A), es el cociente de la longitud del lado adyacente a la hipotenusa: cos(A) = b/c.
  • La tangente del ángulo A, tan(A), es el cociente de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente: tan(A) = a/b.
  • La cosecante del ángulo A, csc(A), es la inversa del seno: csc(A) = c/a.
  • La secante del ángulo A, sec(A), es la inversa del coseno: sec(A) = c/b.
  • La cotangente del ángulo A, cot(A), es la inversa de la tangente: cot(A) = b/a.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras es una regla importante en geometría y trigonometría. Afirma que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (c) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (a y b). Se puede escribir como: 

c² = a² + b²

Ejemplo: En un triángulo rectángulo, si el lado a = 3 unidades y el lado b = 4 unidades, usando el teorema de Pitágoras podemos encontrar la hipotenusa c.
3² + 4² = c²
9 + 16 = c²
25 = c²
c = √25
c = 5 unidades

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son bastante útiles en una variedad de aplicaciones. La mayoría de las razones trigonométricas están asociadas con ángulos entre cero y 90 grados, especialmente en el contexto de triángulos rectángulos. A continuación, se presentan las razones trigonométricas básicas:

  • sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
  • cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
  • tan(θ) = Opuesto / Adyacente
  • csc(θ) = Hipotenusa / Opuesto
  • sec(θ) = Hipotenusa / Adyacente
  • cot(θ) = Adyacente / Opuesto

Considere un triángulo:

  • Ángulo θ = 30 grados
  • Lado opuesto = 1 unidad
  • Hipotenusa = 2 unidades
  • Lado adyacente = √3 unidades
Cálculo para 30 grados:
  • sin(30°) = 1/2
  • cos(30°) = √3/2
  • tan(30°) = 1/√3
  • csc(30°) = 2/1 = 2
  • sec(30°) = 2/√3
  • cot(30°) = √3/1 = √3

Círculo unitario

El círculo unitario es un círculo con un radio de una unidad, centrado en el origen del plano de coordenadas. Es una herramienta útil para entender los ángulos y las funciones trigonométricas. El ángulo theta (θ) se mide normalmente con respecto al eje x positivo.

θ p(x, y) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)

Cualquier punto P(x, y) en este círculo se puede representar como:

  • cos(θ) = x : la coordenada x del punto
  • sin(θ) = y : la coordenada y del punto

Dado que el radio del círculo unitario es siempre uno, la identidad pitagórica se puede derivar de la siguiente manera: 

x² + y² = 1²
Lo que significa: 
cos²(θ) + sin²(θ) = 1

Identidades trigonométricas

Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y son verdaderas para todos los valores de la variable involucrada. Algunas identidades útiles incluyen:

  • Identidad pitagórica: sin²(θ) + cos²(θ) = 1
  • Suma de ángulos: sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
  • Diferencia de ángulos: cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)
  • Ángulo doble: sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
  • Ángulo medio: sin²(θ/2) = (1 - cos(θ))/2

Aplicaciones de la trigonometría

La trigonometría se utiliza ampliamente en muchos campos como la física, la ingeniería, la astronomía, la arquitectura y varias ramas de las matemáticas. Es particularmente útil para calcular distancias, ángulos y alturas en varios contextos prácticos.

Ejemplo: Un ingeniero aeronáutico podría usar la trigonometría para seguir la trayectoria de vuelo de una aeronave y calcular su distancia desde una estación de seguimiento.

Funciones trigonométricas inversas

A veces, necesitamos encontrar el ángulo correspondiente a un valor trigonométrico dado. Aquí es donde las funciones trigonométricas inversas son útiles. Estas son las funciones inversas de las funciones trigonométricas y se representan como:

  • sin-1(x) o arcsin(x)
  • cos-1(x) o arccos(x)
  • tan-1(x) o arctan(x)
Cada una de estas funciones inversas devuelve un ángulo que tiene un valor específico de la función trigonométrica.

Resolviendo ecuaciones trigonométricas

Resolver ecuaciones trigonométricas implica encontrar ángulos que satisfagan una ecuación dada. Esto a menudo requiere el uso de identidades, manipulaciones algebraicas y funciones inversas. Aquí hay una manera simple de resolver ecuaciones trigonométricas:

Ejemplo: Resuelva 2sin(θ) - 1 = 0 para θ.
1. Primero, aísle la función trigonométrica:
2sin(θ) = 1
sin(θ) = 1/2

2. Ahora, encuentre θ usando la función inversa:
θ = sin-1(1/2)

3. θ = 30° o θ = 150° dentro del rango de 0° a 360°.

Gráficos de funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas pueden representarse gráficamente. Las funciones seno, coseno y tangente tienen formas específicas conocidas como sus "formas de onda":

  • Los gráficos de seno y coseno son ondas continuas entre -1 y 1.
  • El gráfico de la función tangente tiene asíntotas verticales y está entre el infinito negativo y positivo.

Estas formas de onda son periódicas, lo que significa que se repiten en un cierto intervalo. Para sin(x) y cos(x), este intervalo o periodo es 2π, mientras que para tan(x), es π.

Conclusión

Comprender la trigonometría es importante para los estudiantes porque forma la base para estudios avanzados en matemáticas y ciencias. Las habilidades adquiridas al dominar conceptos, identidades y ecuaciones trigonométricas serán herramientas invaluables para resolver problemas en una variedad de campos científicos y de ingeniería.


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