Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Rodamientos y navegación


Las direcciones y la navegación son aplicaciones esenciales de la trigonometría, que son particularmente útiles para guiar cómo nos movemos por el mundo, ya sea en tierra, mar o aire. Entender las direcciones implica comprender las mediciones de dirección y ángulo desde una cierta dirección, generalmente el norte, lo que ayuda en una variedad de escenarios como navegar, volar, hacer senderismo o incluso encontrar direcciones en su automóvil.

Comprensión de los rodamientos

Los rodamientos son una forma de expresar la dirección relativa de un punto a otro, usando un círculo de 360 grados. En navegación, los rodamientos generalmente se miden en grados en el sentido de las agujas del reloj desde el norte.

Por ejemplo, la dirección 0° apunta directamente al norte, mientras que la dirección 90° apunta directamente al este. La dirección 180° apunta directamente al sur, y una dirección 270° apunta directamente al oeste. Este sistema permite una navegación precisa, ayudando al navegante a determinar y seguir una ruta.

Algunos ejemplos específicos incluyen:

  • 45°: Dirección noreste
  • 135°: Dirección sureste
  • 225°: Dirección suroeste
  • 315°: Dirección noroeste

Ejemplos ilustrativos de rodamientos

Veamos algunos ejemplos para comprender mejor este concepto:

        
            
            
            
            
            
            0° (Norte)
            90° (Este)
            180° (Sur)
            270° (Oeste)

La imagen anterior muestra una brújula con direcciones para las direcciones cardinales (Norte, Este, Sur y Oeste) y diferentes líneas utilizadas para indicar direcciones en 0°, 90°, 180° y 270°

Cálculo de rodamientos

Para calcular la dirección entre dos puntos en el mapa, necesita conocer los puntos de partida y final. Consideremos un ejemplo simple. Supongamos que estás en el punto A y quieres ir al punto B. Este proceso incluye:

  1. Determinar la línea norte desde su punto de partida.
  2. Medir el ángulo en el sentido de las agujas del reloj desde la línea norte hasta la línea que une los puntos A y B.

Suponga que el punto A está en las coordenadas (3, 4) y el punto B está en (7, 8). El cálculo paso a paso involucrará determinar el ángulo utilizando funciones trigonométricas.

Cálculo de ejemplo

        1. Calcular la diferencia en las coordenadas x: ΔX = 7 - 3 = 4. 2. Calcular la diferencia en las coordenadas y: ΔY = 8 - 4 = 4. 3. Usar la función tangente para encontrar el ángulo θ desde la línea norte: θ = arctan(ΔY / ΔX) = arctan(4 / 4). 4. Simplificar para encontrar θ = arctan(1) = 45°. 5. El rodamiento desde el punto A hasta el punto B es: (0° + 45°) = 45°.

Por lo tanto, el punto B está en la dirección de 45° desde el punto A, que corresponde a la dirección noreste.

Ejemplos en contexto de la vida real

Imagina que un avión está volando desde una ciudad ubicada en (0, 0) hacia otra ciudad ubicada en (5, 10). ¿Cómo calculamos la dirección?

        1. ΔX = 5 - 0 = 5. 2. ΔY = 10 - 0 = 10. 3. Usar la función tangente: θ = arctan(10 / 5) = arctan(2). 4. Buscar o usar una calculadora para arctan(2) ≈ 63.43°. 5. Rodamiento desde el inicio hasta el destino = (0° + 63.43°) = 63.43°.

Este cálculo indica la dirección que el piloto debe tomar para llegar a la ciudad de destino desde el centro de la ciudad de origen, que se calcula en una dirección de aproximadamente 63.43°.

Navegación usando rodamientos

La navegación generalmente implica usar una brújula para averiguar las direcciones para guiarse de un punto a otro. En tiempos anteriores, los marineros y exploradores confiaban mucho en las direcciones y brújulas para encontrar rutas. Hoy en día, los satélites y los sistemas GPS han simplificado el proceso, pero los fundamentos de las direcciones siguen siendo los mismos.

Seguir rutas

Al seguir una ruta, un navegante a menudo necesita seguir una serie de direcciones para llegar a un destino. Por ejemplo, un excursionista puede necesitar avanzar a través de un conjunto de direcciones en un sendero: 45° durante los primeros 2 kilómetros, luego 135°, y así sucesivamente.

Para entender esto, considere este ejemplo:

        
            
            
            
            45°
            
            
            
            135°

El ejemplo muestra el movimiento entre puntos usando direcciones específicas. Las líneas indican la dirección de viaje junto con los ángulos dados en los puntos clave, que es parte del proceso de navegación.

Explicación de los rodamientos en la vida cotidiana

En nuestra vida diaria, puede que no siempre lo notemos, pero a menudo usamos rodamientos. Considere las instrucciones para conducir: "Muévase al noreste" o "Siga conduciendo hacia el sur hasta llegar a un punto de referencia". Estas dependen de los rodamientos.

Ejemplo de navegación de vehículos

Imagina que estás conduciendo desde el Polo Norte hasta una ciudad ubicada (metafóricamente) ligeramente al este. Las instrucciones básicas de navegación implican explicar cómo cambian las direcciones a medida que avanzas en tu viaje.

Las directrices no solo se tratan de matemáticas; conectan nuestra comprensión con el mundo físico y proporcionan orientación para la navegación sin importar el contexto.

Rodamientos en tecnología

La tecnología, particularmente en forma de sistemas GPS, utiliza rodamientos además de otras herramientas para rastrear y navegar posiciones con precisión en una escala global. Comprender los rodamientos ayuda a entender parte de la tecnología que guía aviones volando a través de continentes y barcos navegando por océanos vastos. Son una parte integral de los algoritmos que permiten que los sistemas de navegación calculen las rutas y direcciones más cortas.

Papel en las aplicaciones de GPS y mapas

Muchas aplicaciones de mapas modernas incluyen direcciones como una parte esencial de la guía de rutas. Los algoritmos calculan direcciones instantáneas que coinciden con la dirección correcta basada en la ubicación actual y el punto final utilizando datos en tiempo real.

Por ejemplo, si está utilizando un servicio de GPS y su destino está al sureste de su ubicación, calcula dinámicamente la dirección requerida para asegurarse de que se está moviendo con precisión en esa dirección y llegando de un punto A a un punto B de manera eficiente.

Modelo matemático

En sistemas tecnológicos que requieren mayor precisión, los modelos a menudo descomponen caminos complejos y curvos en segmentos lineales más pequeños con rodamientos definidos, reduciendo así el error de navegación. Estos algoritmos de navegación avanzada consideran la curvatura de la Tierra e integran cálculos en el proceso matemático, que se ajusta aún más por principios trigonométricos, incluyendo rodamientos.

Como es obvio, los rodamientos son una piedra angular vital de la trigonometría práctica, que va más allá de los diagramas teóricos hacia la navegación diaria, ya sea en su teléfono inteligente o en alta mar. Comprender estos conceptos de manera efectiva significa comprender cómo las direcciones fundamentales también guían empresas, vehículos y aventuras en todo el mundo.

Conclusión

Los rodamientos son vitales para la navegación, proporcionando una aplicación práctica de la trigonometría que permite una precisión exacta en la comprensión y dirección del movimiento. Ya sea explorando nuevas tierras, siguiendo una ruta GPS o navegando los océanos, los rodamientos proporcionan el vocabulario direccional necesario para ir de un punto a otro. A medida que las tecnologías avanzan y nuestro mundo se vuelve más interconectado, una comprensión fundamental de los rodamientos sigue siendo tan relevante como siempre, guiándonos a través de innumerables viajes con precisión y claridad.


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