正弦定律与余弦定律

介绍

在三角学中，正弦定律和余弦定律是解决涉及三角形问题的基本法则。这些规则允许我们在已知三角形的某些其他元素时找到三角形的未知角和边。它们不仅在几何学中是重要的工具，在工程、导航和物理等实际应用中也是如此。

正弦定律

正弦定律指出，在任何三角形中，一条边的长度与其对角的正弦值的比值是常量。可以写成：

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

这里，a、b 和 c 分别是三角形的边长，A、B 和 C 是相对的角。

正弦定律的视觉示例

在上述三角形中，可以应用正弦定律来寻找未知的边或角。

正弦定律的应用示例

假设你有一个三角形，边长为 a = 8，角 A = 30°，角 B = 45°。要找到边 b，使用：

a / sin(A) = b / sin(B)

首先，找到正弦值：

sin(30°) = 0.5 和 sin(45°) = 0.707

使用正弦定律：

8 / 0.5 = b / 0.707

解得：

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

因此，边 b 的长度约为 11.312。

余弦定律

余弦定律在已知两边及其夹角时用于计算三角形的未知边，或在已知所有三边时用来寻找角。公式为：

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

这可以重新排列以找到角度：

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

余弦定律的视觉示例

在所示三角形中，可以使用余弦定律来寻找未知的角或边。

余弦定律的应用示例

假设一个三角形的边为 a = 5、b = 7 和角 C = 60°。要找到第三边 c，使用：

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

先找到 cos(60°)：

cos(60°) = 0.5

代入并解出：

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

因此，边 c 的长度约为 6.24。

两种定律的结合使用

有时，您可能需要同时使用正弦定律和余弦定律来解决问题。例如，如果您有一个三角形的两边且没有它们之间的角，您可以先使用余弦定律找到第三条边，然后使用正弦定律找到未知的角。

结合两种定律的示例

假设一个三角形的边为 a = 9、b = 12 和 B = 75°。要计算角 A 和边 c，首先使用余弦定律找到 c：

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

角 75°的余弦为：

cos(75°) ≈ 0.2588

代入公式：

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

然后，使用正弦定律找到角 A：

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

找出 sin(75°)：

sin(75°) ≈ 0.9659

求解 sin(A)：

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

最后确定角 A：

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

因此，角 A 约为 46.28°，边 c 约为 13。