Законы синусов и косинусов

Введение

В тригонометрии законы синусов и косинусов являются основополагающими для решения задач, связанных с треугольниками. Эти правила позволяют находить неизвестные углы и стороны треугольника, когда известны некоторые другие элементы треугольника. Они являются важными инструментами не только в геометрии, но и в реальных приложениях, таких как инженерия, навигация и физика.

Закон синусов

Закон синусов гласит, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу угла, противоположного этой стороне, является постоянным. Он может быть записан как:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Здесь, a, b и c - это длины сторон треугольника соответственно, а A, B и C - это противоположные углы.

Визуальный пример Закона синусов

В приведенном выше треугольнике вы можете применить Закон синусов для нахождения неизвестных сторон или углов.

Пример применения Закона синусов

Предположим, у вас есть треугольник со сторонами a = 8, углом A = 30° и углом B = 45°. Чтобы найти сторону b, используйте:

a / sin(A) = b / sin(B)

Сначала найдите значение синуса:

sin(30°) = 0.5 и sin(45°) = 0.707

Использование Закона синусов:

8 / 0.5 = b / 0.707

Решив это, получаем:

b = 8 * 0.707 / 0.5 = 11.312

Таким образом, длина стороны b составляет примерно 11.312.

Закон косинусов

Закон косинусов полезен для вычисления неизвестной стороны треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, или для нахождения угла, когда известны все три стороны. Формула выглядит следующим образом:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Эту формулу можно преобразовать для нахождения угла:

cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)

Визуальный пример Закона косинусов

В показанном треугольнике можно использовать Закон косинусов для нахождения неизвестных углов или сторон.

Пример применения Закона косинусов

Представьте треугольник со сторонами a = 5, b = 7 и углом C = 60°. Чтобы найти третью сторону c, используйте:

c² = a² + b² - 2ab * cos(C)

Начните с нахождения cos(60°):

cos(60°) = 0.5

Подставьте и решите:

c² = 5² + 7² - 2 * 5 * 7 * 0.5 c² = 25 + 49 - 35 c² = 39 c = sqrt(39) ≈ 6.24

Следовательно, длина стороны c составляет примерно 6.24.

Использование обоих законов вместе

Иногда вам может потребоваться использовать как Закон синусов, так и Закон косинусов для решения задачи. Например, если у вас есть треугольник с двумя сторонами и без углов между ними, вы можете сначала использовать Закон косинусов для нахождения третьей стороны, а затем Закон синусов для нахождения неизвестных углов.

Пример комбинирования обоих законов

Представьте треугольник со сторонами a = 9, b = 12 и B = 75°. Чтобы вычислить угол A и сторону c, сначала найдите c, используя закон косинусов:

c² = a² + b² - 2ab * cos(B) c² = 9² + 12² - 2 * 9 * 12 * cos(75°)

Косинус угла 75° равен:

cos(75°) ≈ 0.2588

Подставьте в формулу:

c² = 81 + 144 - 216 * 0.2588 c² = 225 - 55.9408 c² ≈ 169.0592 c ≈ sqrt(169.0592) c ≈ 13

Затем используйте закон синусов, чтобы найти угол A:

sin(A) / a = sin(B) / b sin(A) / 9 = sin(75°) / 12

Найдите sin(75°):

sin(75°) ≈ 0.9659

Решите для sin(A):

sin(A) = 9 * 0.9659 / 12 sin(A) ≈ 0.7244

Наконец, определите угол A:

A ≈ arcsin(0.7244) ≈ 46.28°

Следовательно, угол A составляет примерно 46.28°, а сторона c - примерно 13.